Aritalab:Lecture/NetworkBiology/Diffusion
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ランダムウォークとブラウン運動
数直線上で原点から出発するランダムウォークが左(負の方向)にいく確率を q 右(正の方向)にいく確率を p とします。ここで p + q = 1 です。時刻 t において位置 x にいる確率を u ( x , t ) と書いて漸化式を作ると
となります。ここで Δx が歩幅、Δt が単位時間です。この式で右側をテイラー展開してみます。
u( x , t ) を移項して全体を Δ t で割ります。
ここで以下の収束条件を仮定します。
式を書きなおすと
このとき、離散時間のランダムウォークから話を始めましたが u ( x , t ) は連続時間・連続位置の確率分布関数になっています。これをドリフトつき拡散方程式と呼びます。また、前向きのコルモゴロフ微分方程式とも呼ばれます。
p = q = 1/2 のとき、c = 0 となります。この場合をブラウン運動と呼びます。さらに D = 1 のとき、標準ブラウン運動、またはウィーナー過程と呼びます。
この方程式を解くには初期条件が必要です。時刻 0 において確率 1 で位置 0 にいると仮定すると、解は平均が ct 分散が Dt の正規分布になります。
ここで上記の収束条件は重要です。分散と平均が有限値に収まるためには c, D が有限値に収束しなくてはなりません。
拡散過程
連続時間の確率過程 { X(t) : t ∈ [ 0, ∞ ) } における次状態が、現在の状態にのみ依存する場合をマルコフ過程と呼びます。
時刻 t で状態 x から、時刻 s で状態 y に遷移したとき、その確率密度関数を p ( y, s; x, t ) とかきます。ここでは時間について一様 (homogenious) であることを仮定します。
- p ( y, s + Δt; x, t + Δt) = p ( y, s; x, t )
つまり Δ 時間ずらしても遷移に影響はありません。連続時間のマルコフ過程が如何なる ε >0 に対しても次の条件を満たすとき、それを拡散過程と呼びます。
1.
- (微小時間 Δ t における、ε近傍より大きな移動は無視できる)
2.
- (微小時間 Δ t における移動距離の平均値は a)
3.
- (微小時間 Δ t における移動距離の分散は b)
これらの式はより条件の厳しい以下の式から導けます。
1'. for some δ > 2
2'.
3'.
この式は平均や分散を使って y - x = ΔX(t) と書きなおせば
1'. for some δ > 2
2'.
3'.
となります。条件 1'は ε近傍も含めて 3 次以上の項が 0 になることを示しています。また ε 近傍より大きなところでは
が成立するので、2'および3'が成立する際には収束する成分は ε 近傍内に限られます。
Kolmogorov 微分方程式
コルモゴロフ微分方程式には前向きと後ろ向きがあります。遷移確率が移動先(未来)の状態、あるいは移動元(過去)の状態を用いて記述されるかの違いです。平均と分散の収束先である係数 a(y,t), b(y,t) を時間に非依存としてそれぞれ a(y), b(y) として書いています。
- 前向き方程式: (y,s) を用いて記述
-
(Fokker-Planck 等式とも呼ばれる)
- 後ろ向き方程式: (x,t) を用いて記述
以下のChapman-Kolmogorov等式と
という式を使って z についてテーラー展開します。
ここで両辺を Δ t で割って Δ t → 0 とおけば後ろ向きの微分方程式が得られます。
コルモゴロフ微分方程式が解を持つかどうかは、係数 a(x), b(x) や空間に依存します。ある位置で b(x) = 0 が成り立つ場合、式は singular と呼ばれ、空間全体 (-∞, ∞) で解を持つことはありません。解を持つには b(x) > 0 であることが必要です。
ある領域 (r1 , r2) で如何なる点へもその他の点から移動可能な場合、regular といい(既約なマルコフ連鎖に相当)、その場合を考えましょう。境界 ri は到達可能な場合と到達不可能な場合があり、
- 到達可能 (accessible)
- regular ... 反射壁のように移動を続けられる
- exit ... 吸収状態に同じ
- 到達不可能 (inaccessible)
- natural ... 確率的に移動できない (例えば無限遠点)
- entrance ... スタート地点だがここには戻れない
に分けられます。
例 8.2
- a (x) = α x , b (x) = β x の場合
前向きコルモゴロフ微分方程式は
となり、指数的な増加(減少)プロセスになります。平均値 μX(t) の時間変化を計算すると となるので、これを解くと
、つまり平均値は指数的に増加します。これは、出生過程と似たプロセスです。