Aritalab:Lecture/NetworkBiology/Random Walk/Recurrence
m (→二項係数と再帰確率) |
m (→k = 1 の場合) |
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Line 1: | Line 1: | ||
− | + | ==二項係数== | |
+ | 左右に移動する確率がそれぞれ p, q のランダムウォークを考えます。原点から出発して 2n ステップ後に再び原点に戻っている確率 <math>p^{(2n)}_{0}</math> は、左右にちょうど n 回ずつ移動すればよいので | ||
− | = | + | <math>\textstyle p^{(2n)}_{0} = \frac{2n!}{n! n!} p^n q^n \ </math> |
− | + | ここで p(0) = 1 です。スターリングの近似式 <math> n! \sim n^n e^{-n} \sqrt{2\pi n}</math> を使うと | |
− | + | ||
− | <math> p(2n) | + | <math>\textstyle |
− | + | p^{(2n)}_{0} = \frac{2n!}{n! n!} p^{n} q^{n} \sim \frac{(2n)^{2n}e^{-2n} \sqrt{4 \pi n}}{n^{2n} e^{-2n} 2\pi n } p^{n} q^{n} = \frac{(4pq)^n}{\sqrt{\pi n}} | |
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
</math> | </math> | ||
となります。 | となります。 | ||
− | * p = q = 1/2 のとき 4pq = 1 | + | * p = q = 1/2 のとき 4pq = 1 |
− | :<math>\textstyle\sum^{\infty}_{n=0} p(2n) \sim \sum^{\infty}_{n=0} 1/\sqrt{\pi n} > (1/\sqrt{\pi}) \sum 1/n = \infty </math> なので原点には無限回戻ってくることになり、再帰確実です。 | + | :<math>\textstyle\sum^{\infty}_{n=0} p^{(2n)}_{0} \sim \sum^{\infty}_{n=0} 1/\sqrt{\pi n} > (1/\sqrt{\pi}) \sum 1/n = \infty </math> なので原点には無限回戻ってくることになり、再帰確実です。 |
− | * p ≠ 1/2 のとき 4pq < 1 | + | * p ≠ 1/2 のとき 4pq < 1 |
− | :<math>\textstyle\sum^{\infty}_{n=0} p(2n) \sim (1/\sqrt{\pi})\sum^{\infty}_{n=0} (4pq)^n/\sqrt{n} \rightarrow N < \infty</math> | + | :<math>\textstyle\sum^{\infty}_{n=0} p^{(2n)}_{0} \sim (1/\sqrt{\pi})\sum^{\infty}_{n=0} (4pq)^n/\sqrt{n} \rightarrow N < \infty</math> なので、有限の値に収束し、非再帰的(再帰不確実)です。 |
− | + | ==二項係数と再帰確率== | |
− | + | 原点から出発したランダムウォークが原点に戻ってくる確率を再帰確率といいます。 | |
− | + | 2n に原点に戻る確率を <math>p^{(2n)}</math>と書き、 2n ステップ後に初めて原点に戻ってくる確率を <math>f^{(2n)}</math> と書きましょう。 | |
<math> | <math> | ||
\begin{align} | \begin{align} | ||
− | p(2n) &= f(2) p(2n - 2) \\ | + | p^{(2n)} &= f^{(2)} p^{(2n - 2)}\\ |
− | &+ f(4) p(2n - 4) \\ | + | &+ f^{(4)} p^{(2n - 4)} \\ |
− | &+ f(6) p(2n - 6) \\ | + | &+ f^{(6)} p^{(2n - 6)} \\ |
&+ \cdots \\ | &+ \cdots \\ | ||
− | &+ f(2n - 2) p(2) + f(2n) \\ | + | &+ f^{(2n - 2)} p^{(2)} + f^{(2n)} \\ |
− | &= \sum^n_{m=1} f(2m) p(2n - 2m) | + | &= \textstyle\sum^n_{m=1} f^{(2m)} p^{(2n - 2m)} |
\end{align} | \end{align} | ||
</math> | </math> | ||
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<math> | <math> | ||
\begin{align} | \begin{align} | ||
− | f(2) &= p(2)\\ | + | f^{(2)} &= p^{(2)}\\ |
− | f(4) &= p(4) - p(2) f(2)\\ | + | f^{(4)} &= p^{(4)} - p^{(2)} f^{(2)}\\ |
− | f(6) &= p(6) - p(4) f(2) - p(2) f(4) \\ | + | f^{(6)} &= p^{(6)} - p^{(4)} f^{(2)} - p^{(2)} f^{(4)} \\ |
\cdots & \cdots \\ | \cdots & \cdots \\ | ||
− | f(2n) &= p(2n) - p(2n-2) f(2) - p(2n-4) f(4) - \cdots p(2) f(2n-2) | + | f^{(2n)} &= p^{(2n)} - p^{(2n-2)} f^{(2)} - p^{(2n-4)} f^{(4)} - \cdots p^{(2)} f^{(2n-2)} |
\end{align} | \end{align} | ||
</math> | </math> | ||
− | が求まり、二項係数 | + | が求まり、二項係数 <math>p^{(2n)}</math> を用いて <math>f^{(2n)}</math> を書き下すことができます。 |
− | + | ==再帰確率の母関数== | |
− | ここでは再帰確率を母関数を用いて求めてみます。 | + | |
+ | ここでは再帰確率を母関数を用いて求めてみます。 f は 2n 回目で初めて原点に戻ることを意味する関数なので n = 1 からスタートします。この議論の一般形は[[Aritalab:Lecture/NetworkBiology/Markov_Chains/StationaryDistribution|マルコフ連鎖定常分布のページ]]にも記されています。 | ||
<math> | <math> | ||
\begin{align} | \begin{align} | ||
− | P(z) &= \sum^{\infty}_{n=0} p(2n) z^{2n} \\ | + | P(z) &= \textstyle\sum^{\infty}_{n=0} p^{(2n)} z^{2n} \\ |
− | F(z) &= \sum^{\infty}_{n=1} f(2n) z^{2n} | + | F(z) &= \textstyle\sum^{\infty}_{n=1} f^{(2n)} z^{2n} |
\end{align} | \end{align} | ||
</math> | </math> | ||
− | ここで | + | ここで p と f の関係式から |
<math> | <math> | ||
\begin{align} | \begin{align} | ||
− | p(2n) &= \sum^n_{m=1} f(2m) p(2n - 2m)\\ | + | p^{(2n)} &= \textstyle\sum^n_{m=1} f^{(2m)} p^{(2n - 2m)}\\ |
− | p(2n) z^{2n} & = \sum^n_{m=1} f(2m) z^{2m} p(2n - 2m) z^{2n-2m} \\ | + | p^{(2n)} z^{2n} & = \textstyle\sum^n_{m=1} f^{(2m)} z^{2m} p^{(2n - 2m)} z^{2n-2m} \\ |
− | \sum^{\infty}_{n=1} p(2n) z^{2n} & = \sum^{\infty}_{n=1}\Big[ \sum^n_{m=1} f(2m) z^{2m} p(2n - 2m) z^{2n-2m} \Big]\\ | + | \textstyle\sum^{\infty}_{n=1} p^{(2n)} z^{2n} & = \textstyle\sum^{\infty}_{n=1}\Big[ \sum^n_{m=1} f^{(2m)} z^{2m} p^{(2n - 2m)} z^{2n-2m} \Big]\\ |
\end{align} | \end{align} | ||
</math> | </math> | ||
Line 75: | Line 72: | ||
<math> | <math> | ||
\begin{align} | \begin{align} | ||
− | p(2) &= f(2)\\ | + | p^{(2)} &= f^{(2)}\\ |
− | p(4) &= f(4) + f(2) p(2)\\ | + | p^{(4)} &= f^{(4)} + f^{(2)} p^{(2)}\\ |
− | p(6) &= f(6) + f(4) p(2) + f(2) p(4)\\ | + | p^{(6)} &= f^{(6)} + f^{(4)} p^{(2)} + f^{(2)} p^{(4)}\\ |
\vdots \ &= \ \vdots | \vdots \ &= \ \vdots | ||
\end{align} | \end{align} | ||
Line 86: | Line 83: | ||
<math> | <math> | ||
\begin{align} | \begin{align} | ||
− | \sum^{\infty}_{n=1} p(2n) z^{2n} &= \sum^{\infty}_{n=1}\Big[ \sum^n_{m=1} f(2m) z^{2m} p(2n - 2m) z^{2n-2m} \Big]\\ | + | \textstyle\sum^{\infty}_{n=1} p^{(2n)} z^{2n} &= \textstyle\sum^{\infty}_{n=1}\Big[ \sum^n_{m=1} f^{(2m)} z^{2m} p^{(2n - 2m)} z^{2n-2m} \Big]\\ |
− | &= \sum^{\infty}_{m=1} f(2m)z^{2m} \sum^{\infty}_{n=m} p(2n - 2m) z^{2n-2m}\\ | + | &= \textstyle\sum^{\infty}_{m=1} f^{(2m)}z^{2m} \sum^{\infty}_{n=m} p^{(2n - 2m)} z^{2n-2m}\\ |
&= F(z) P(z) | &= F(z) P(z) | ||
\end{align} | \end{align} | ||
</math> | </math> | ||
− | 左辺は <math>p(0) = 1\ </math> を含まないので <math>P(s) - 1\ </math> となり、<math> F(z) = \frac{P(s) - 1}{P(s)}\ </math> となります。 | + | 左辺は <math>p^{(0)} = 1\ </math> を含まないので <math>P(s) - 1\ </math> となり、<math>\textstyle F(z) = \frac{P(s) - 1}{P(s)}\ </math> となります。 |
無限級数 <math> P(s)\ </math> が発散するときは <math> F(z) \rightarrow 1 </math> となって再帰確実であり(必ず原点にもどる)、有限な値に収束するときは <math> F(z) < 1\ </math> で再帰不確実です。 | 無限級数 <math> P(s)\ </math> が発散するときは <math> F(z) \rightarrow 1 </math> となって再帰確実であり(必ず原点にもどる)、有限な値に収束するときは <math> F(z) < 1\ </math> で再帰不確実です。 | ||
実は、二項係数の母関数 <math>P(s) \ </math> は閉じた式に書き下すことができます。([[Aritalab:Lecture/Basic/Generating_Function|母関数のページ]]を参照。) | 実は、二項係数の母関数 <math>P(s) \ </math> は閉じた式に書き下すことができます。([[Aritalab:Lecture/Basic/Generating_Function|母関数のページ]]を参照。) | ||
− | <math> | + | <math>\textstyle |
− | P(s) = (1 - 4pqz^2)^{-1/2} | + | P(s) = (1 - 4pqz^2)^{-1/2}</math> |
これから | これから | ||
<math> | <math> | ||
− | F(s) = 1 - \frac{1}{P(s)} = 1 - \sqrt{1 - 4pqz^2} | + | \textstyle F(s) = 1 - \frac{1}{P(s)} = 1 - \sqrt{1 - 4pqz^2} |
</math> | </math> | ||
Line 109: | Line 106: | ||
<math> | <math> | ||
− | F(1) = 1 - (1 - 4pq)^{1/2} = 1 - |p-q|\, | + | \textstyle F(1) = 1 - (1 - 4pq)^{1/2} = 1 - |p-q|\, |
</math> | </math> | ||
になります。 | になります。 | ||
− | == | + | ==原点に戻る回数の期待値== |
− | 再帰確率を | + | 再帰確率を r としましょう。ランダムウォークが原点に戻らない確率は (1 − r) です。いったん原点に戻ったら、ランダムウォークを再出発させると考えると、ちょうど1回原点に戻る確率は r (1 − r)、ちょうど2回原点に戻る確率は r<sup>2</sup> (1 − r)、ちょうど n 回原点に戻る確率は r<sup>n</sup> (1 − r) になります。戻る回数の期待値は |
− | <math>\sum^{\infty}_{n=0} n \cdot r^n (1-r) = \frac{r}{1-r}</math> | + | <math>\textstyle\sum^{\infty}_{n=0} n \cdot r^n (1-r) = \frac{r}{1-r}</math> |
− | になります(この等式の導出は[[Aritalab:Lecture/Basic/Generating_Function|母関数]] | + | になります(この等式の導出は[[Aritalab:Lecture/Basic/Generating_Function|母関数]]のページを参照)。一方で、ランダムウォークが原点に戻る回数は n ステップ後に原点にいる確率の総和にも等しいので |
− | <math>\sum^{\infty}_{n=1} \binom{2n}{n} p^nq^n = \sum^{\infty}_{n=0} \binom{2n}{n} p^nq^n - 1 = F(1) - 1 = \frac{1}{\sqrt{1 - 4pq}} - 1 = \frac{1}{|2p - 1|} - 1</math> | + | <math> |
+ | \begin{align} | ||
+ | \textstyle\sum^{\infty}_{n=1} \binom{2n}{n} p^nq^n &= \sum^{\infty}_{n=0} \binom{2n}{n} p^nq^n - 1 = F(1) - 1\\ | ||
+ | &= \frac{1}{\sqrt{1 - 4pq}} - 1 = \frac{1}{|2p - 1|} - 1 | ||
+ | \end{align} | ||
+ | </math> | ||
とも書けます(この等式の導出も[[Aritalab:Lecture/Basic/Generating_Function|母関数]]のページを参照)。 | とも書けます(この等式の導出も[[Aritalab:Lecture/Basic/Generating_Function|母関数]]のページを参照)。 | ||
− | + | 両方の値は等しいので、たとえば ''p'' > 1/2 と仮定して | |
− | <math>\frac{r}{1-r} = \frac{1}{\sqrt{1 - 4pq}} - 1 \,</math> | + | <math>\textstyle\frac{r}{1-r} = \frac{1}{\sqrt{1 - 4pq}} - 1 \,</math> |
とおけば | とおけば | ||
<math> r = 1 - | p - q | \,</math> | <math> r = 1 - | p - q | \,</math> | ||
− | |||
となり、母関数を用いた <math>F(1)\,</math> の値と一致します。 | となり、母関数を用いた <math>F(1)\,</math> の値と一致します。 | ||
+ | ==平均再帰時間== | ||
− | + | p = q = 1/2 のときだけ再帰確実であり、平均再帰時間を考えられます。 | |
− | + | ||
− | + | ||
<math> | <math> | ||
− | \sum^{\infty}_{n=0} 2n \cdot f(2n) = \Big[ \frac{d F(z)}{dz} \Big]_{z=1} = | + | \textstyle\sum^{\infty}_{n=0} 2n \cdot f^{(2n)} = \Big[ \frac{d F(z)}{dz} \Big]_{z=1} = |
[ z(1 - z^2)^{-1/2} ]_{z=1} = \infty | [ z(1 - z^2)^{-1/2} ]_{z=1} = \infty | ||
</math> | </math> | ||
Line 150: | Line 150: | ||
つまり、原点には必ず戻りますが無限時間かかる可能性があります。 | つまり、原点には必ず戻りますが無限時間かかる可能性があります。 | ||
− | + | ==到達確率== | |
− | 原点から出発して | + | 原点から出発して n ステップ後に位置 k に初めて到達する確率 <math>f_k^{(n)}</math> は、再帰確率と同様に求められます。ここでは一般性を失わずに k > 0 とし、 n と k の偶奇が一致する制約を無視して議論を進めます。まず n ステップ後に 位置 k にいる確率 <math>\ p_k^{(n)}</math> から求めます。 |
− | <math> p_k(n) = \frac{n!}{((n+k)/2)! ((n-k)/2)!} p^{ | + | <math>\textstyle p_k^{(n)} = \frac{n!}{((n+k)/2)! ((n-k)/2)!} p^{\frac{n+k}{2}} q^{\frac{n-k}{2}} </math> |
− | + | 再帰確率の場合と同じく、n ステップ後に初めて k に到達する関数との関係を考えます。初めて k に到達したらそこを原点として残りのステップを関数 p で記述でき、以下になります。 | |
− | <math>p_k(n) = f_k(k)p(n-k) + f_k(k+2)p(n-k-2) + \cdots + f_k(n-2)p(2) + f_k(n) | + | <math>\textstyle p_k^{(n)} = f_k^{(k)}p^{(n-k)} + f_k^{(k+2)}p^{(n-k-2)} + \cdots + f_k^{(n-2)}p^{(2)} + f_k^{(n)} </math> |
ここで | ここで | ||
− | <math>f_k(k) = p_k(k) = p^k | + | <math>\textstyle f_k^{(k)} = p_k^{(k)} = p^k </math> |
− | です。二項係数 <math>p_k( n ) | + | です。二項係数 <math>p_k^{(n)}, p^{(n)}</math> を用いて <math>f_k^{(n)}</math> を書き下すことができます。 |
− | === | + | === k=1 の場合=== |
− | + | 原点を出発し、 n ステップ目ではじめて k = 1 になる確率 <math>f_1^{(n)}</math> を考えます。 | |
− | * | + | * n = 0 のとき、明らかに <math>f_1^{(0)} = 0</math> |
− | * | + | * n = 1 のとき、明らかに <math>f_1^{(1)} = p</math> |
− | * | + | * n > 1 のとき |
− | 最初のステップは必ず左です。その後、 | + | 最初のステップは必ず左です。その後、 m − 1 回 ( m < n ) で右隣の原点に初めて戻り、さらに n − m 回で初めて位置 1 に到達します。その確率は <math> q f_1^{(m-1)} f_1^{(n-m)}</math> です。m についての和を取ると |
<math> | <math> | ||
− | f_1(n) = q( f_1(1) f_1(n-2) + f_1(2) f_1(n-3) + \cdots + f_1(n-3) f_1(2) + f_1(n-2) f_1(1)) | + | \textstyle f_1^{(n)} = q( f_1^{(1)} f_1^{(n-2)} + f_1^{(2)} f_1^{(n-3)} + \cdots + f_1^{(n-3)} f_1^{(2)} + f_1^{(n-2)} f_1^{(1)}) |
</math> | </math> | ||
− | これを | + | これを n = 2 から並べましょう。 |
<math> | <math> | ||
\begin{align} | \begin{align} | ||
− | f_1(2) &= q( f_1(1) f_1(0))\\ | + | f_1^{(2)} &= q( f_1^{(1)} f_1^{(0)})\\ |
− | f_1(3) &= q( f_1(1) f_1(1) + f_1(2) f_1(0))\\ | + | f_1^{(3)} &= q( f_1^{(1)} f_1^{(1)} + f_1^{(2)} f_1^{(0)})\\ |
− | f_1(4) &= q( f_1(1) f_1(2) + f_1(2) f_1(1) + f_1(3) f_1(0))\\ | + | f_1^{(4)} &= q( f_1^{(1)} f_1^{(2)} + f_1^{(2)} f_1^{(1)} + f_1^{(3)} f_1^{(0)})\\ |
\vdots \ &= \ \vdots \\ | \vdots \ &= \ \vdots \\ | ||
− | f_1(n) &= q( f_1(1) f_1(n-2) + f_1(2) f_1(n-3) + \cdots + f_1(n-3) f_1(2) + f_1(n-2) f_1(1) + f_1(n-1) f_1(0)) \\ | + | f_1^{(n)} &= q( f_1^{(1)} f_1^{(n-2)} + f_1^{(2)} f_1^{(n-3)} + \cdots + f_1^{(n-3)} f_1^{(2)} + f_1^{(n-2)} f_1^{(1)} + f_1^{(n-1)} f_1^{(0)}) \\ |
\vdots \ &= \ \vdots | \vdots \ &= \ \vdots | ||
\end{align} | \end{align} | ||
</math> | </math> | ||
− | 母関数 <math>F_1(z) = \sum^{\infty}_{n=0} f_1(n)z^n</math> を考慮しながら縦方向に足し合わせます。 | + | 母関数 <math>\textstyle F_1(z) = \sum^{\infty}_{n=0} f_1^{(n)}z^n</math> を考慮しながら縦方向に足し合わせます。 |
<math> | <math> | ||
\begin{align} | \begin{align} | ||
− | \sum^{\infty}_{n=2} f_1(n)z^n &= q \sum^{\infty}_{n=2} \sum^{n-1}_{m=1} f_1(m)f_1(n-m-1) z^n\\ | + | \textstyle\sum^{\infty}_{n=2} f_1^{(n)}z^n &= q \textstyle\sum^{\infty}_{n=2} \sum^{n-1}_{m=1} f_1^{(m)}f_1^{(n-m-1)} z^n\\ |
− | F_1(z) - pz &= q z \sum^{\infty}_{m=1}f_1(m) z^m \big[ \sum^{\infty}_{n=m+1} f_1(n-m-1) z^{n-m-1}\big]\\ | + | F_1(z) - pz &= q z \textstyle\sum^{\infty}_{m=1}f_1^{(m)} z^m \big[ \sum^{\infty}_{n=m+1} f_1^{(n-m-1)} z^{n-m-1}\big]\\ |
F_1(z) - pz &= q z F_1(z)^2 \\ | F_1(z) - pz &= q z F_1(z)^2 \\ | ||
\end{align} | \end{align} | ||
</math> | </math> | ||
− | この二次式を解くと <math> F_1(z) = \frac{1}{2qz}[1 - (1 - 4 pqz^2)^{1/2}]</math> となります。(もう一つの解は | + | この二次式を解くと <math>\textstyle F_1(z) = \frac{1}{2qz}[1 - (1 - 4 pqz^2)^{1/2}]</math> となります。(もう一つの解は z = 0 で発散する。)すなわち |
<math> | <math> | ||
\begin{align} | \begin{align} | ||
− | F_1(1) &= \frac{1 - |p - q|}{2q} \\ | + | F_1(1) &= \textstyle\frac{1 - |p - q|}{2q} \\ |
&= p / q \quad (p < q)\\ | &= p / q \quad (p < q)\\ | ||
&= 1 \quad (p \geq q) | &= 1 \quad (p \geq q) | ||
Line 211: | Line 211: | ||
</math> | </math> | ||
− | もし | + | もし p < q (左のほうに行く確率が高い)なら、永遠に待っていても <math>(q - p)/q\,</math> の確率で k = 1 に来ることはなく、p ≥ q の場合は必ず k = 1 に到達します。 |
<!--- | <!--- |
Latest revision as of 00:06, 28 October 2011
Contents |
[edit] 二項係数
左右に移動する確率がそれぞれ p, q のランダムウォークを考えます。原点から出発して 2n ステップ後に再び原点に戻っている確率 は、左右にちょうど n 回ずつ移動すればよいので
ここで p(0) = 1 です。スターリングの近似式 を使うと
となります。
- p = q = 1/2 のとき 4pq = 1
- なので原点には無限回戻ってくることになり、再帰確実です。
- p ≠ 1/2 のとき 4pq < 1
- なので、有限の値に収束し、非再帰的(再帰不確実)です。
[edit] 二項係数と再帰確率
原点から出発したランダムウォークが原点に戻ってくる確率を再帰確率といいます。 2n に原点に戻る確率を と書き、 2n ステップ後に初めて原点に戻ってくる確率を と書きましょう。
となります。この関係式から
が求まり、二項係数 を用いて を書き下すことができます。
[edit] 再帰確率の母関数
ここでは再帰確率を母関数を用いて求めてみます。 f は 2n 回目で初めて原点に戻ることを意味する関数なので n = 1 からスタートします。この議論の一般形はマルコフ連鎖定常分布のページにも記されています。
ここで p と f の関係式から
さらに
という関係を縦方向に眺めることによって、右辺の2重和の順序を入れ替えます。
左辺は を含まないので となり、 となります。 無限級数 が発散するときは となって再帰確実であり(必ず原点にもどる)、有限な値に収束するときは で再帰不確実です。
実は、二項係数の母関数 は閉じた式に書き下すことができます。(母関数のページを参照。)
これから
となり再帰確率は
になります。
[edit] 原点に戻る回数の期待値
再帰確率を r としましょう。ランダムウォークが原点に戻らない確率は (1 − r) です。いったん原点に戻ったら、ランダムウォークを再出発させると考えると、ちょうど1回原点に戻る確率は r (1 − r)、ちょうど2回原点に戻る確率は r2 (1 − r)、ちょうど n 回原点に戻る確率は rn (1 − r) になります。戻る回数の期待値は
になります(この等式の導出は母関数のページを参照)。一方で、ランダムウォークが原点に戻る回数は n ステップ後に原点にいる確率の総和にも等しいので
とも書けます(この等式の導出も母関数のページを参照)。
両方の値は等しいので、たとえば p > 1/2 と仮定して
とおけば
となり、母関数を用いた の値と一致します。
[edit] 平均再帰時間
p = q = 1/2 のときだけ再帰確実であり、平均再帰時間を考えられます。
つまり、原点には必ず戻りますが無限時間かかる可能性があります。
[edit] 到達確率
原点から出発して n ステップ後に位置 k に初めて到達する確率 は、再帰確率と同様に求められます。ここでは一般性を失わずに k > 0 とし、 n と k の偶奇が一致する制約を無視して議論を進めます。まず n ステップ後に 位置 k にいる確率 から求めます。
再帰確率の場合と同じく、n ステップ後に初めて k に到達する関数との関係を考えます。初めて k に到達したらそこを原点として残りのステップを関数 p で記述でき、以下になります。
ここで
です。二項係数 を用いて を書き下すことができます。
[edit] k=1 の場合
原点を出発し、 n ステップ目ではじめて k = 1 になる確率 を考えます。
- n = 0 のとき、明らかに
- n = 1 のとき、明らかに
- n > 1 のとき
最初のステップは必ず左です。その後、 m − 1 回 ( m < n ) で右隣の原点に初めて戻り、さらに n − m 回で初めて位置 1 に到達します。その確率は です。m についての和を取ると
これを n = 2 から並べましょう。
母関数 を考慮しながら縦方向に足し合わせます。
この二次式を解くと となります。(もう一つの解は z = 0 で発散する。)すなわち
もし p < q (左のほうに行く確率が高い)なら、永遠に待っていても の確率で k = 1 に来ることはなく、p ≥ q の場合は必ず k = 1 に到達します。