Aritalab:Lecture/NetworkBiology/Percolation on Graph

Latest revision as of 12:19, 6 August 2016

[edit] グラフ上のパーコレーション

グラフをある次数分布に従うツリーとみなすことで、パーコレーションを扱ってみます。ここでの議論は母関数を使った説明もあります。

あるネットワークの平均次数が <k> で与えられるとき、隣接点の平均次数は $\textstyle \frac{\langle k^2 \rangle - \langle k \rangle}{\langle k \rangle}$ になります。この本数のうち、確率 q でサイトが ON になる場合、隣接点の周りで占有される頂点数は $q \textstyle \frac{\langle k^2 \rangle - \langle k \rangle}{\langle k \rangle}$ になります。これが 1 を上回る場合に相転移をおこすので、臨界確率 $q_c = \textstyle \frac{1}{\langle k^2 \rangle / \langle k \rangle - 1 }$ が得られます。つまり、<k²> / <k> のバランスに臨界確率が左右されるということです。

[edit] パーコレーションの起こりやすさ

いかなる次数分布でも、 $\langle k^2 \rangle$ が $\langle k \rangle$ に比して大きいと、低い浸透確率で相転移が起こります。

[edit] 格子グラフ、Erdosブラフ

次数が一定の場合、 $\langle k^2 \rangle = \langle k \rangle^2$ です。すなわち、 $q_c = 1 / \langle k \rangle$ となります。

次数分布がポアソン分布をなす場合、平均と分散は等しく　 $E[k] = V[k] = \langle k \rangle$ になります。このとき $\langle k^2 \rangle = \langle k \rangle^2 + \langle k \rangle$ です。この場合も格子グラフとほぼ同じで、平均次数に反比例して浸透確率が下がります。

[edit] スケールフリーネットワーク

次数の分布が、べき分布 $p(k)=Ck^{-\gamma}$ のときをかんがえましょう。ここで $\zeta(\gamma)\$ はリーマンゼータ関数とします。

$\frac{\langle k^2 \rangle}{\langle k \rangle} = \frac{\Sigma_kk^2p(k)}{\Sigma_kkp(k)} = \frac{\Sigma k^{2-\gamma}}{ \Sigma k^{1-\gamma}} = \frac{\zeta(\gamma - 2)}{\zeta(\gamma - 1)}$

この値は $\gamma \leq 3$ のときに発散します。また $\gamma$ が大きくなると $k=1$ の項が大きな要素を占めるのでほとんど 1 に近づきます。

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 ==グラフ上のパーコレーション==
-グラフをある次数分布に従うツリーとみなすことで、パーコレーションを扱ってみます。
+グラフをある次数分布に従うツリーとみなすことで、パーコレーションを扱ってみます。ここでの議論は[[Aritalab:Lecture/Basic/GF_DegreeDistribution|母関数を使った説明]]もあります。
-この内容を読む前に[[Aritalab:Lecture/Basic/Generating Function|母関数の概念]]を復習しておいてください。
-==次数分布の母関数==
+あるネットワークの平均次数が <k> で与えられるとき、隣接点の平均次数は <math>\textstyle \frac{\langle k^2 \rangle - \langle k \rangle}{\langle k \rangle}</math> になります。この本数のうち、確率 q でサイトが ON になる場合、隣接点の周りで占有される頂点数は <math>q \textstyle \frac{\langle k^2 \rangle - \langle k \rangle}{\langle k \rangle}</math>  になります。これが 1 を上回る場合に相転移をおこすので、臨界確率 <math>q_c = \textstyle \frac{1}{\langle k^2 \rangle / \langle k \rangle - 1 }</math>  が得られます。つまり、<k<sup>2</sup>> / <k> のバランスに臨界確率が左右されるということです。
-グラフの次数分布 <math>p(k)</math> を与えられたとき、その母関数は
-<math>G_v(x) = \sum p(k) x^k</math>
+==パーコレーションの起こりやすさ==
-になります。しかし、頂点 ''v'' の隣にある頂点 ''w'' の次数分布はもはや <math>p(k)</math> ではありません。
+いかなる次数分布でも、<math>\langle k^2 \rangle</math>が<math>\langle k \rangle</math>に比して大きいと、低い浸透確率で相転移が起こります。
-選ばれた辺の先には、他の点が等確率でくることはないからです。
-辺をランダムに1本選んだとき、もう片方にある端点がどんな次数分布をとるか考えましょう。
-次数の大きい点のほうが、次数に比例して存在する確率が高くなります。
-つまり、もう片側にある端点の次数分布は、最初の次数分布に辺の数で重みをつけてから正規化した<math>\textstyle kp(k)/\Sigma_j jp(j)</math>となります（分母は正規化定数）。
-よってある頂点 ''v'' の隣にくる頂点 ''w'' の次数分布の母関数は
-<math>\sum_{k=0}^{\infty}x^k\frac{kp(k)}{\Sigma_jjp(j)} = x\frac{\Sigma_k kx^{(k-1)}p(k)}{\Sigma_jjp(j)} = x\frac{G'_v(x)}{G'_v(1)}</math>
+===格子グラフ、Erdosブラフ===
+次数が一定の場合、<math>\langle k^2 \rangle = \langle k \rangle^2</math> です。すなわち、<math>q_c = 1 / \langle k \rangle</math> となります。
-母関数においては、次数 <math>k</math> に対して <math>x^k</math> が対応します。
+次数分布がポアソン分布をなす場合、平均と分散は等しく　<math>E[k] = V[k] = \langle k \rangle </math> になります。
-頂点 ''v'' の先に ''w'' がついているとき、''w'' から ''v'' 以外に伸びる辺数に注目します。
+このとき <math>\langle k^2 \rangle = \langle k \rangle^2 + \langle k \rangle </math> です。この場合も格子グラフとほぼ同じで、平均次数に反比例して浸透確率が下がります。
-''v'' から ''w'' への辺1本を除いた、''w'' に関する母関数は上の式を<math>x</math>で割ったものにあたります。
-<math>G_w(x) = \frac{G'_v(x)}{G'_v(1)}</math>
+===スケールフリーネットワーク===
-==占有される頂点の母関数==
+次数の分布が、べき分布 <math>p(k)=Ck^{-\gamma}</math> のときをかんがえましょう。
+ここで <math>\zeta(\gamma)\ </math> はリーマンゼータ関数とします。
-パーコレーションで相転移が起きるのは、頂点から伸びていく辺の期待値が1をちょうど超えるときです。
-ただし、このときの母関数はグラフ全体の次数分布を示す <math>G_v</math> ではなく、占有された頂点のみによる部分ネットワークの母関数です。
-したがって、母関数を区別して <math>F_v</math> と記しましょう。関数 ''F'' と ''G'' の関係は、各頂点が確率 ''q'' で占有されるため ''G'' と ''F'' の次数平均をそれぞれ<math>\langle k \rangle</math>, <math>\langle l \rangle</math>
-と書くと
 <math>
-\begin{align}
+\frac{\langle k^2 \rangle}{\langle k \rangle} = \frac{\Sigma_kk^2p(k)}{\Sigma_kkp(k)} = \frac{\Sigma k^{2-\gamma}}{ \Sigma k^{1-\gamma}} = \frac{\zeta(\gamma - 2)}{\zeta(\gamma - 1)}
-\langle l \rangle &= q \langle k \rangle \\
-\end{align}
 </math>
-この関係から
+この値は<math>\gamma \leq 3</math>のときに発散します。また <math>\gamma</math> が大きくなると <math> k=1 </math> の項が大きな要素を占めるのでほとんど 1 に近づきます。
-<math>
-\begin{align}
-F'_v(1) &= q G'_v(1) = q \langle k \rangle \\
-F''_v(1) &= q^2G''_v(1) = q^2 (\langle k^2 \rangle - \langle k \rangle)
-\end{align}
-</math>
-相転移が起きるのは<math>F_w'(1) = 1</math>のときだから
-<math>
-F'_w(1) = \frac{F''_v(1)}{F'_v(1)} = 1
-</math>
-代入すると
-<math>
-q_c = \frac{1}{\frac{\langle k^2 \rangle}{\langle k \rangle} - 1}
-</math>
-すなわち、<math>\langle k^2 \rangle</math>が大きく<math>\langle k \rangle</math>を上回るとき、<math>q_c</math>は小さくなります。
-==パーコレーション==
-いかなる次数分布でも、<math>\langle k^2 \rangle</math>が<math>\langle k \rangle</math>に比して大きいと、低い浸透確率で相転移が起こることをみてきました。
-===ランダムグラフの場合===
-ランダムグラフの場合は次数分布がポアソン分布になります。
-このとき<math>\langle k^2 \rangle = \langle k \rangle^2 + \langle k \rangle </math>になるので
-<math>q_c = 1 / \langle k \rangle</math>
-すなわち、平均次数が大きくなるほど浸透しやすくなります。
-===スケールフリーネットワークの場合===
-べき分布<math>p(k)=ck^{-\gamma}</math>のとき
-<math>
-\langle k^2 \rangle = \Sigma_kk^2p(k) = c\Sigma k^{2-\gamma}
-</math>
-この値は<math>\gamma　\leq 3</math>のときに発散します。有限のネットワークではその値も有限ですが、大きな値になるために非常に低い値で浸透すると考えてよさそうです。
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