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ランダムウォークとブラウン運動

数直線上で原点から出発するランダムウォークが左（負の方向）にいく確率を q 右（正の方向）にいく確率を p とします。ここで p + q = 1 です。時刻 t において位置 x にいる確率を u ( x , t ) と書いて漸化式を作ると

$\textstyle u(x, t + \Delta t) = p u( x -\Delta x, t ) + q u ( x + \Delta x, t )$

となります。ここで Δx が歩幅、Δt が単位時間です。この式で右側をテイラー展開してみます。

$\begin{align} u(x, t+ \Delta t) &= \textstyle p \Big[ u(x,t) + \frac{\partial u(x,t)}{\partial x} (- \Delta x) + \frac{\partial^2 u(x,t)}{\partial x^2} \frac{(\Delta x)^2}{2} + O((\Delta x)^3) \Big] \\ & \textstyle + q \Big[ u(x,t) + \frac{\partial u(x,t)}{\partial x} (\Delta x) + \frac{\partial^2 u(x,t)}{\partial x^2} \frac{(\Delta x)^2}{2} + O((\Delta x)^3) \Big] \\ &= \textstyle u(x,t) + (q-p)\frac{\partial u(x,t)}{\partial x} \Delta x + \frac{\partial^2 u(x,t)}{\partial x^2} \frac{(\Delta x)^2}{2} + O((\Delta x)^3) \Big]. \end{align}$

u( x , t ) を移項して全体を Δ t で割ります。

$\begin{align}\textstyle \frac{u(x, t+ \Delta t) - u(x,t)}{\Delta t} = (q - p) \frac{\partial u(x,t)}{\partial x} \frac{\Delta x}{\Delta t} + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 u(x,t)}{\partial x^2} \frac{(\Delta x)^2}{\Delta t} + O\Big( \frac{(\Delta x)^3}{\Delta t} \Big). \end{align}$

ここで以下の収束条件を仮定します。

$\begin{align} \textstyle \lim_{\Delta t, \Delta x \rightarrow 0} (p-q)\frac{\Delta x}{\Delta t} &= c \\ \textstyle \lim_{\Delta t, \Delta x \rightarrow 0} \frac{(\Delta x)^2}{\Delta t} &= D \\ \textstyle \lim_{\Delta t, \Delta x \rightarrow 0} \frac{(\Delta x)^3}{\Delta t} &=0 \end{align}$

式を書きなおすと $\textstyle \frac{\partial u}{\partial t} = -c \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{D}{2} \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}.$

このとき、離散時間のランダムウォークから話を始めましたが u ( x , t ) は連続時間・連続位置の確率分布関数になっています。これをドリフトつき拡散方程式と呼びます。また、前向きのコルモゴロフ微分方程式とも呼ばれます。

p = q = 1/2 のとき、c = 0 となります。この場合をブラウン運動と呼びます。さらに D = 1 のとき、標準ブラウン運動、またはウィーナー過程と呼びます。 $\textstyle \frac{\partial u}{\partial t} = \frac{D}{2} \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}.$

この方程式を解くには初期条件が必要です。時刻 0 において確率 1 で位置 0 にいると仮定すると、解は平均が ct 分散が Dt の正規分布になります。

$\textstyle u(x,t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi Dt}} \exp\Big( - \frac{(x-ct)^2}{2Dt} \Big)$

ここで上記の収束条件は重要です。分散と平均が有限値に収まるためには c, D が有限値に収束しなくてはなりません。

拡散過程

連続時間の確率過程 { X(t) : t ∈ [ 0, ∞ ) } における次状態が、現在の状態にのみ依存する場合をマルコフ過程と呼びます。

時刻 t で状態 x から、時刻 s で状態 y に遷移したとき、その確率密度関数を p ( y, s; x, t ) とかきます。ここでは時間について一様 (homogenious) であることを仮定します。

p ( y, s + Δt; x, t + Δt) = p ( y, s; x, t )

つまり Δ 時間ずらしても遷移に影響はありません。連続時間のマルコフ過程が如何なる ε >0 に対しても次の条件を満たすとき、それを拡散過程と呼びます。

1. $\textstyle\lim_{\Delta t \rightarrow 0^+} \frac{1}{\Delta t} \int_{|y-x| > \epsilon} p(y, t + \Delta t; x, t) dy = 0$

(微小時間 Δ t における、ε近傍より大きな移動は無視できる)

2. $\textstyle\lim_{\Delta t \rightarrow 0^+} \frac{1}{\Delta t} \int_{|y-x| \leq \epsilon} (y-x) p(y, t + \Delta t; x, t) dy = a(x,t)$

(微小時間 Δ t における移動距離の平均値は a)

3. $\textstyle\lim_{\Delta t \rightarrow 0^+} \frac{1}{\Delta t} \int_{|y-x| \leq \epsilon} (y-x)^2 p(y, t + \Delta t; x, t) dy = b(x,t)$

(微小時間 Δ t における移動距離の分散は b)

これらの式はより条件の厳しい以下の式から導けます。

1'. $\textstyle\lim_{\Delta t \rightarrow 0^+} \frac{1}{\Delta t} \int^{\infty}_{-\infty} |y-x|^{\delta} p(y, t + \Delta t; x, t) dy = 0$ for some δ > 2

2'. $\textstyle\lim_{\Delta t \rightarrow 0^+} \frac{1}{\Delta t} \int^{\infty}_{-\infty} (y-x) p(y, t + \Delta t; x, t) dy = a(x,t)$

3'. $\textstyle\lim_{\Delta t \rightarrow 0^+} \frac{1}{\Delta t} \int^{\infty}_{-\infty} (y-x)^2 p(y, t + \Delta t; x, t) dy = b(x,t)$

この式は平均や分散を使って y - x = ΔX(t) と書きなおせば

1'. $\textstyle\lim_{\Delta t \rightarrow 0^+} \frac{1}{\Delta t} E( [\Delta X(t)]^{\delta} | X(t) = x) = 0$ for some δ > 2

2'. $\textstyle\lim_{\Delta t \rightarrow 0^+} \frac{1}{\Delta t} E( \Delta X(t) | X(t) = x) = a(x,t)$

3'. $\textstyle\lim_{\Delta t \rightarrow 0^+} \frac{1}{\Delta t} E( [\Delta X(t)]^2 | X(t) = x) = b(x,t)$

となります。条件 1'は ε近傍も含めて 3 次以上の項が 0 になることを示しています。また ε 近傍より大きなところでは

$\textstyle \int_{|y-x|>\epsilon} |y-x|^k p(y, t+\Delta t; x,t) dy \leq \frac{1}{\epsilon^{\delta - k}} \int^{\infty}_{-\infty} |y-x|^{\delta} p(y, t+\Delta t; x,t) dy$

が成立するので、2'および3'が成立する際には収束する成分は ε 近傍内に限られます。

Kolmogorov 微分方程式

コルモゴロフ微分方程式には前向きと後ろ向きがあります。遷移確率が移動先（未来）の状態、あるいは移動元（過去）の状態を用いて記述されるかの違いです。平均と分散の収束先である係数 a(y,t), b(y,t) を時間に非依存としてそれぞれ a(y), b(y) として書いています。

• 前向き方程式： (y,s) を用いて記述

$\textstyle \frac{\partial p(y,s;x,t)}{\partial s} = - \frac{\partial [a(y)p(y,s;x,t)]}{\partial y} + \frac{1}{2} \frac{\partial^2[b(y)p(y,s;x,t)]}{\partial y^2}$ (Fokker-Planck 等式とも呼ばれる）

• 後ろ向き方程式： (x,t) を用いて記述

$\textstyle \frac{\partial p(y,s;x,t)}{\partial t} = -a(x)\frac{\partial p(y,s;x,t)}{\partial x} - \frac{1}{2}b(x)\frac{\partial^2 p(y,s;x,t)}{\partial x^2}$

以下のChapman-Kolmogorov等式と

$\textstyle p ( y, s; x, t ) = \int^{\infty}_{-\infty} p(y, s; z, u) p(z, u,; x, t) dz,\ \ t < u < s$

$\textstyle 1 = \int^{\infty}_{-\infty} p(z,t;x,t-\Delta t)dz$

という式を使って z についてテーラー展開します。

$\begin{align} \textstyle & p(y,s;x,t-\Delta t) - p(y,s;x,t)\\ &=\textstyle [p(y,s;x,t-\Delta t) - p(y,s;x,t)] \int^{\infty}_{-\infty} p(z,t;x,t-\Delta t)dz\\ &=\textstyle \int^{\infty}_{-\infty} p(z,t;x,t-\Delta t)[p(y,s;z,t) - p(y,s;x,t)] dz\\ &=\textstyle \int^{\infty}_{-\infty} p(z,t;x,t-\Delta t)\Big[ (z-x) \frac{\partial p(y,s;x,t)}{\partial x} + \frac{(z-x)^2}{2} \frac{\partial^2 p(y,s;x,t)}{\partial x^2} + O( (z-x)^3 ) \Big] \end{align}$

ここで両辺を Δ t で割って Δ t → 0 とおけば後ろ向きの微分方程式が得られます。

コルモゴロフ微分方程式が解を持つかどうかは、係数 a(x), b(x) や空間に依存します。ある位置で b(x) = 0 が成り立つ場合、式は singular と呼ばれ、空間全体 (-∞, ∞) で解を持つことはありません。解を持つには b(x) > 0 であることが必要です。

ある領域 (r₁ , r₂) で如何なる点へもその他の点から移動可能な場合、regular といい（既約なマルコフ連鎖に相当）、その場合を考えましょう。境界 r_i は到達可能な場合と到達不可能な場合があり、

• 到達可能 (accessible)
  • regular ... 反射壁のように移動を続けられる
  • exit ... 吸収状態に同じ
• 到達不可能 (inaccessible)
  • natural ... 確率的に移動できない （例えば無限遠点）
  • entrance ... スタート地点だがここには戻れない

に分けられます。

例 8.2

a (x) = α x , b (x) = β x の場合

前向きコルモゴロフ微分方程式は

$\textstyle \frac{\partial p}{\partial t} = - \alpha \frac{\partial [xp]}{\partial x} + \frac{\beta^2}{2} \frac{\partial^2(xp)}{\partial x^2} \ \ x \in (0, \infty)$

となり、指数的な増加（減少）プロセスになります。平均値 μ_X(t) の時間変化を計算すると $\frac{d \mu_X}{dt} = \alpha \mu_X (t)$ となるので、これを解くと $\mu_X(t) = x_0 e^{\alpha t}$、つまり平均値は指数的に増加します。これは、出生過程と似たプロセスです。