Aritalab:Lecture/NetworkBiology/Diffusion
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つまり Δ 時間ずらしても遷移に影響はありません。連続時間のマルコフ過程が如何なる ε に対しても次の条件を満たすとき、それを拡散過程と呼びます。 | つまり Δ 時間ずらしても遷移に影響はありません。連続時間のマルコフ過程が如何なる ε に対しても次の条件を満たすとき、それを拡散過程と呼びます。 | ||
− | # <math>\lim_{\Delta t \rightarrow 0^+} \frac{1}{\Delta t} \int_{|y-x| > \epsilon} p(y, t + \Delta t; x, t) dy = 0 </math> (微小時間 Δ t における遷移は無視できる) | + | # <math>\textstyle\lim_{\Delta t \rightarrow 0^+} \frac{1}{\Delta t} \int_{|y-x| > \epsilon} p(y, t + \Delta t; x, t) dy = 0 </math> |
− | # <math>\lim_{\Delta t \rightarrow 0^+} \frac{1}{\Delta t} \int_{|y-x| \leq \epsilon} (y-x) p(y, t + \Delta t; x, t) dy = a(x,t) </math> (微小時間 Δ t における平均値は a) | + | :(微小時間 Δ t における遷移は無視できる) |
− | # <math>\lim_{\Delta t \rightarrow 0^+} \frac{1}{\Delta t} \int_{|y-x| \leq \epsilon} (y-x)^2 p(y, t + \Delta t; x, t) dy = b(x,t) </math> (微小時間 Δ t における平均値は b) | + | # <math>\textstyle\lim_{\Delta t \rightarrow 0^+} \frac{1}{\Delta t} \int_{|y-x| \leq \epsilon} (y-x) p(y, t + \Delta t; x, t) dy = a(x,t) </math> |
+ | :(微小時間 Δ t における平均値は a) | ||
+ | # <math>\textstyle\lim_{\Delta t \rightarrow 0^+} \frac{1}{\Delta t} \int_{|y-x| \leq \epsilon} (y-x)^2 p(y, t + \Delta t; x, t) dy = b(x,t) </math> | ||
+ | :(微小時間 Δ t における平均値は b) | ||
これらの式はより条件の厳しい以下の式から導けます。 | これらの式はより条件の厳しい以下の式から導けます。 | ||
− | #' <math>\lim_{\Delta t \rightarrow 0^+} \frac{1}{\Delta t} \int^{\infty}_{-\infty} |y-x|^{\delta} p(y, t + \Delta t; x, t) dy = 0 </math> | + | #' <math>\textstyle\lim_{\Delta t \rightarrow 0^+} \frac{1}{\Delta t} \int^{\infty}_{-\infty} |y-x|^{\delta} p(y, t + \Delta t; x, t) dy = 0 </math> |
− | #' <math>\lim_{\Delta t \rightarrow 0^+} \frac{1}{\Delta t} \int^{\infty}_{-\infty} (y-x) p(y, t + \Delta t; x, t) dy = a(x,t) </math> | + | #' <math>\textstyle\lim_{\Delta t \rightarrow 0^+} \frac{1}{\Delta t} \int^{\infty}_{-\infty} (y-x) p(y, t + \Delta t; x, t) dy = a(x,t) </math> |
− | #' <math>\lim_{\Delta t \rightarrow 0^+} \frac{1}{\Delta t} \int^{\infty}_{-\infty} (y-x)^2 p(y, t + \Delta t; x, t) dy = b(x,t) </math> | + | #' <math>\textstyle\lim_{\Delta t \rightarrow 0^+} \frac{1}{\Delta t} \int^{\infty}_{-\infty} (y-x)^2 p(y, t + \Delta t; x, t) dy = b(x,t) </math> |
1' の式から | 1' の式から |
Revision as of 16:40, 26 June 2012
ランダムウォークとブラウン運動
数直線上で原点から出発するランダムウォークが左(負の方向)にいく確率を q 右(正の方向)にいく確率を p とします。ここで p + q = 1 です。時刻 t において位置 x にいる確率を u ( x , t ) と書いて漸化式を作ると
となります。ここで Δx が歩幅、Δt が単位時間です。この式で右側をテイラー展開してみます。
u( x , t ) を移項して全体を Δ t で割ります。
ここで以下の収束条件を仮定します。
式を書きなおすと
このとき、離散時間のランダムウォークから話を始めましたが u ( x , t ) は連続時間・連続位置の確率分布関数になっています。これをドリフトつき拡散方程式と呼びます。また、前向きのコルモゴロフ微分方程式とも呼ばれます。
p = q = 1/2 のとき、c = 0 となります。この場合をブラウン運動と呼びます。さらに D = 1 のとき、標準ブラウン運動、またはウィーナー過程と呼びます。
この方程式を解くには初期条件が必要です。時刻 0 において確率 1 で位置 0 にいると仮定すると、解は平均が ct 分散が Dt の正規分布になります。
ここで上記の収束条件は重要です。分散と平均が有限値に収まるためには c, D が有限値に収束しなくてはなりません。
拡散過程
連続時間の確率過程 { X(t) : t ∈ [ 0, ∞ ) } における次状態が、現在の状態にのみ依存する場合をマルコフ過程と呼びます。
時刻 t で状態 x から、時刻 s で状態 y に遷移したとき、その確率密度関数を p ( y, s; x, t ) とかきます。ここでは時間について一様 (homogenious) であることを仮定します。
- p ( y, s + Δt; x, t + Δt) = p ( y, s; x, t )
つまり Δ 時間ずらしても遷移に影響はありません。連続時間のマルコフ過程が如何なる ε に対しても次の条件を満たすとき、それを拡散過程と呼びます。
- (微小時間 Δ t における遷移は無視できる)
- (微小時間 Δ t における平均値は a)
- (微小時間 Δ t における平均値は b)
これらの式はより条件の厳しい以下の式から導けます。
- '
- '
- '
1' の式から
Chapman-Kolmogorov 等式
- p ( y, s; x, t ) =