Aritalab:Lecture/NetworkBiology/Diffusion
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数直線上で原点から出発するランダムウォークが左(負の方向)にいく確率を q 右(正の方向)にいく確率を p とします。ここで p + q = 1 です。時刻 t において位置 x にいる確率を u ( x , t ) と書いて漸化式を作ると | 数直線上で原点から出発するランダムウォークが左(負の方向)にいく確率を q 右(正の方向)にいく確率を p とします。ここで p + q = 1 です。時刻 t において位置 x にいる確率を u ( x , t ) と書いて漸化式を作ると | ||
− | :<math>\ u(x, t + \Delta t) = p u( x -\Delta x, t ) + q u ( x + \Delta x, t )</math> | + | :<math>\textstyle u(x, t + \Delta t) = p u( x -\Delta x, t ) + q u ( x + \Delta x, t )</math> |
となります。ここで Δx が歩幅、Δt が単位時間です。この式で右側をテイラー展開してみます。 | となります。ここで Δx が歩幅、Δt が単位時間です。この式で右側をテイラー展開してみます。 | ||
:<math> | :<math> | ||
− | \begin{align} | + | \begin{align} |
− | & + q \Big[ u(x,t) + \frac{\partial u(x,t)}{\partial x} (\Delta x) + \frac{\partial^2 u(x,t)}{\partial x^2} \frac{(\Delta x)^2}{2} + O((\Delta x)^3) \Big] \\ | + | u(x, t+ \Delta t) &= \textstyle p \Big[ u(x,t) + \frac{\partial u(x,t)}{\partial x} (- \Delta x) + \frac{\partial^2 u(x,t)}{\partial x^2} \frac{(\Delta x)^2}{2} + O((\Delta x)^3) \Big] \\ |
− | &= u(x,t) + (q-p)\frac{\partial u(x,t)}{\partial x} \Delta x + \frac{\partial^2 u(x,t)}{\partial x^2} \frac{(\Delta x)^2}{2} + O((\Delta x)^3) \Big]. | + | & \textstyle + q \Big[ u(x,t) + \frac{\partial u(x,t)}{\partial x} (\Delta x) + \frac{\partial^2 u(x,t)}{\partial x^2} \frac{(\Delta x)^2}{2} + O((\Delta x)^3) \Big] \\ |
+ | &= \textstyle u(x,t) + (q-p)\frac{\partial u(x,t)}{\partial x} \Delta x + \frac{\partial^2 u(x,t)}{\partial x^2} \frac{(\Delta x)^2}{2} + O((\Delta x)^3) \Big]. | ||
\end{align} | \end{align} | ||
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\begin{align} | \begin{align} | ||
− | \lim_{\Delta t, \Delta x \rightarrow 0} (p-q) \frac{\Delta x}{\Delta t} &= c \\ | + | \textstyle \lim_{\Delta t, \Delta x \rightarrow 0} (p-q)\frac{\Delta x}{\Delta t} &= c \\ |
− | \lim_{\Delta t, \Delta x \rightarrow 0} | + | \textstyle \lim_{\Delta t, \Delta x \rightarrow 0} \frac{(\Delta x)^2}{\Delta t} &= D \\ |
− | \lim_{\Delta t, \Delta x \rightarrow 0} \frac{(\Delta x)^3}{\Delta t} &=0 | + | \textstyle \lim_{\Delta t, \Delta x \rightarrow 0} \frac{(\Delta x)^3}{\Delta t} &=0 |
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− | 式を書きなおすと | + | 式を書きなおすと <math>\textstyle |
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\frac{\partial u}{\partial t} = -c \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{D}{2} \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}. | \frac{\partial u}{\partial t} = -c \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{D}{2} \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}. | ||
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このとき、離散時間のランダムウォークから話を始めましたが u ( x , t ) は連続時間・連続位置の確率分布関数になっています。これをドリフトつき拡散方程式と呼びます。また、前向きのコルモゴロフ微分方程式とも呼ばれます。 | このとき、離散時間のランダムウォークから話を始めましたが u ( x , t ) は連続時間・連続位置の確率分布関数になっています。これをドリフトつき拡散方程式と呼びます。また、前向きのコルモゴロフ微分方程式とも呼ばれます。 | ||
− | p = q = 1/2 のとき、c = 0 となります。この場合をブラウン運動と呼びます。さらに D = 1 のとき、標準ブラウン運動、またはウィーナー過程と呼びます。 | + | p = q = 1/2 のとき、c = 0 となります。この場合をブラウン運動と呼びます。さらに D = 1 のとき、標準ブラウン運動、またはウィーナー過程と呼びます。 <math> \textstyle |
− | <math> | + | |
\frac{\partial u}{\partial t} = \frac{D}{2} \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}. | \frac{\partial u}{\partial t} = \frac{D}{2} \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}. | ||
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この方程式を解くには初期条件が必要です。時刻 0 において確率 1 で位置 0 にいると仮定すると、解は平均が ct 分散が Dt の正規分布になります。 | この方程式を解くには初期条件が必要です。時刻 0 において確率 1 で位置 0 にいると仮定すると、解は平均が ct 分散が Dt の正規分布になります。 | ||
− | :<math> | + | :<math> \textstyle |
− | u(x,t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi Dt}} exp\Big( - \frac{(x-ct)^2}{2Dt} \Big) | + | u(x,t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi Dt}} \exp\Big( - \frac{(x-ct)^2}{2Dt} \Big) |
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Revision as of 16:39, 26 June 2012
ランダムウォークとブラウン運動
数直線上で原点から出発するランダムウォークが左(負の方向)にいく確率を q 右(正の方向)にいく確率を p とします。ここで p + q = 1 です。時刻 t において位置 x にいる確率を u ( x , t ) と書いて漸化式を作ると
となります。ここで Δx が歩幅、Δt が単位時間です。この式で右側をテイラー展開してみます。
u( x , t ) を移項して全体を Δ t で割ります。
ここで以下の収束条件を仮定します。
式を書きなおすと
このとき、離散時間のランダムウォークから話を始めましたが u ( x , t ) は連続時間・連続位置の確率分布関数になっています。これをドリフトつき拡散方程式と呼びます。また、前向きのコルモゴロフ微分方程式とも呼ばれます。
p = q = 1/2 のとき、c = 0 となります。この場合をブラウン運動と呼びます。さらに D = 1 のとき、標準ブラウン運動、またはウィーナー過程と呼びます。
この方程式を解くには初期条件が必要です。時刻 0 において確率 1 で位置 0 にいると仮定すると、解は平均が ct 分散が Dt の正規分布になります。
ここで上記の収束条件は重要です。分散と平均が有限値に収まるためには c, D が有限値に収束しなくてはなりません。
拡散過程
連続時間の確率過程 { X(t) : t ∈ [ 0, ∞ ) } における次状態が、現在の状態にのみ依存する場合をマルコフ過程と呼びます。
時刻 t で状態 x から、時刻 s で状態 y に遷移したとき、その確率密度関数を p ( y, s; x, t ) とかきます。ここでは時間について一様 (homogenious) であることを仮定します。
- p ( y, s + Δt; x, t + Δt) = p ( y, s; x, t )
つまり Δ 時間ずらしても遷移に影響はありません。連続時間のマルコフ過程が如何なる ε に対しても次の条件を満たすとき、それを拡散過程と呼びます。
- (微小時間 Δ t における遷移は無視できる)
- (微小時間 Δ t における平均値は a)
- (微小時間 Δ t における平均値は b)
これらの式はより条件の厳しい以下の式から導けます。
- '
- '
- '
1' の式から
Chapman-Kolmogorov 等式
- p ( y, s; x, t ) =