Aritalab:Lecture/NetworkBiology/Contact Process
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コンタクトプロセス
感染症モデルでネットワーク構造を考慮したものをコンタクトプロセスと呼ぶ。 それぞれの状態の割合を
- S susceptible (健康状態)
- I infected (感染状態)
- R recovered (治癒状態)
と書く。の場合をSISモデルと呼び、の場合をSIRモデルと呼ぶ。
SIS model
ネットワークを考慮しない場合
時間の間に感染者はの確率で治癒し、健康人がの確率で感染するとする。
十分時間が経過した後の定常状態を考えるとを式変形して
つまり感染率が治癒率を超える場合は健康人の割合が減少し(病人が必ず残る)、感染率のほうが小さい場合はのために病人はゼロになる。
またとは定数倍すれば片方を消せるので、今後は一般性を失わずにとおく。
一般のネットワークの場合
次数分布のみを考慮することにし、前出の式を次数kに限定して考える。
ここでは、次数kの健康人が接続する先(1本あたり)が感染者である期待値を示す。定常状態のとき、であるから
は、次数kの頂点から出る辺が接続する先が感染者である確率を示していた。 辺が接続する先の頂点の次数分布はであるから
これをについて閉じた式にできれば感染率に対する感染者の期待値を解析的に求められるが、それは容易ではない。ここで求めたいのは臨界値を与えるだと考えて、右辺と左辺の関係を考える。
という連立方程式の解を考えよう。下の曲線はで定義され、が解の一つである。またのときにとなり単調増加でもある。
よって連立方程式が以外にも解を持つかどうかの分岐点は
ここから、臨界確率となる。
具体例
- 次数分布がポアソン分布
のとき
- 次数分布が指数分布
のとき
SIRモデル
ネットワークを考慮しない場合
時間の間に感染者はの確率で治癒し、健康人がの確率で感染するとする。
十分時間が経過した後の定常状態において十分量のが生じるためには
つまり感染率が治癒率を超える場合は病人の割合が増加する。逆の場合は病人が減少する一方になる。
SISモデルと同様、今後は一般性を失わずにとおく。
一般のネットワークの場合
次数分布のみを考慮することにし、前出の式を次数$k$に限定して考える。
SISモデルとの違いは、いちど感染した頂点がSに戻らずRになる点である。 よって
k' が1少なくなっている理由はSに隣接する頂点がIの場合、その頂点を感染させた頂点はIかRであり、二度と感染しないからである。 この式が以外にも解を持つかどうかの分岐点は
ここから、臨界確率となる。SISモデルとSIRモデルは基本的に結果が変わらない。
SIRモデルとパーコレーション
SIRモデルはいったん感染すると後はRに移動するだけである。したがってにおける最終結果は各辺について一回ずつ感染か非感染かを評価するパーコレーションと変わらない。
このように、頂点ではなく辺に活性、非活性を割り当てる方式をボンド・パーコレーションと呼ぶ。