Aritalab:Lecture/Basic/Inequality
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Revision as of 21:27, 7 July 2010
分散とモーメント
- [定義] E[] を確率変数 X の k 次モーメントと呼ぶ。
- [定義] 確率変数 X の分散は
- [定義] 確率変数 X の標準偏差 は
- Failed to parse (lexing error): \sigma[X] = \sqrt{\mathbf{Var}[X]} ==Markovの不等式== 確率変数 ''X'' と ''a'' > 0 に対し :<math>\textstyle \mbox{Pr}(|X| \geq a) \leq \mathbf{E}[|X|]/a
をマルコフの不等式と呼ぶ。証明は随所に見られるので省略する。
- 具体例
- 確率 1/k で k E[X] をとり、確率 (1- 1/k) で 0 をとる確率変数を考える。 このときマルコフの不等式は という等号が成立しており、不等式が十分「きつい」ものであることがわかる。
Chebyshevの不等式
確率変数 X と a > 0 に対し
をチェビシェフの不等式と呼ぶ。証明には、 に対してマルコフの不等式を適用する。
- 具体例
- マルコフの不等式において等号を成り立たせた確率分布を考える。チェビシェフの不等式では