Aritalab:Lecture/NetworkBiology/Contact Process

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レポートの書き方

Arita Laboratory

コンタクトプロセス

感染症モデルでネットワーク構造を考慮したものをコンタクトプロセスと呼ぶ。 それぞれの状態の割合を

S  susceptible (健康状態)

I  infected (感染状態)

R  recovered (治癒状態）

と書く。$S \xrightarrow{\lambda}I \xrightarrow{\mu} S$の場合をSISモデルと呼び、$S \xrightarrow{\lambda} I \xrightarrow{\mu} R$の場合をSIRモデルと呼ぶ。

SIS model

$S(t) + I(t) = 1$

ネットワークを考慮しない場合

時間$\delta t$の間に感染者は$\mu$の確率で治癒し、健康人が$\lambda I(t)$の確率で感染するとする。

$\begin{align} \frac{d I(t)}{dt} &= \lambda S(t) I(t) - \mu I(t)\\ \frac{d S(t)}{dt} &= -\lambda I(t)S(t) + \mu I(t) \end{align}$

十分時間が経過した後の定常状態を考えると$\textstyle \lambda S(t) I(t) - \mu I(t) = 0$を式変形して

$\frac{\lambda}{\mu} = \frac{1}{S(t= \infty)}$

つまり感染率$\lambda$が治癒率$\mu$を超える場合は健康人の割合が減少し（病人が必ず残る）、感染率のほうが小さい場合は$S(t= \infty) < 1$のために病人はゼロになる。

また$\lambda$と$\mu$は定数倍すれば片方を消せるので、今後は一般性を失わずに$\mu=1$とおく。

一般のネットワークの場合

次数分布のみを考慮することにし、前出の式を次数kに限定して考える。

$\frac{d I_k(t)}{dt} = \lambda (1-I_k(t)) k\Theta(t) - I_k(t)$

ここで$\Theta(t)$は、次数kの健康人が接続する先（1本あたり）が感染者である期待値を示す。定常状態のとき、$d I_k(\infty) / dt =0$であるから

$I_k(t = \infty) = \frac{\lambda k \Theta(\infty)}{1 + \lambda k \Theta(\infty)}$

$\Theta(t)$は、次数kの頂点から出る辺が接続する先が感染者である確率を示していた。 辺が接続する先の頂点の次数分布は$k p(k)/\langle k \rangle$であるから

$\textstyle \begin{align} \Theta(\infty) &= \frac{1}{\langle k \rangle} \sum_{j} j p(j) I_k (\infty) \\ &= \frac{1}{\langle k \rangle} \sum_{j} j p(j) \frac{\lambda j \Theta(\infty)}{1 + \lambda j \Theta(\infty)} \end{align}$

これを$\Theta$について閉じた式にできれば感染率$\lambda$に対する感染者の期待値を解析的に求められるが、それは容易ではない。ここで求めたいのは臨界値を与える$\lambda$だと考えて、右辺と左辺の関係を考える。

$\begin{cases} y_1 = \Theta\\ y_2 = C \sum kp(k)\frac{\lambda k \Theta}{1 + \lambda k \Theta} \end{cases}$

という連立方程式の解$\Theta$を考えよう。下の曲線は$0 \leq \Theta \leq 1$で定義され、$\theta = 0$が解の一つである。また$\Theta=1$のときに$y_2 < 1$となり単調増加でもある。

$\frac{d y_2}{d \Theta} = C \sum kp(k)\frac{\lambda k}{(1 + \lambda k \Theta)^2} > 0$

よって連立方程式が$\theta = 0$以外にも解を持つかどうかの分岐点は

$\frac{d y_2}{d \Theta} \Bigg|_{\Theta=0} = \frac{1}{\langle k \rangle} \sum_k kp(k)\lambda_c k = \frac{\langle k^2 \rangle}{\langle k \rangle}\lambda_c = 1$

ここから、臨界確率$\lambda_c = \frac{\langle k \rangle}{\langle k^2 \rangle}$となる。

具体例

次数分布がポアソン分布

$p(k) = e^{- \lambda} (\lambda^k/k!)$のとき

$\lambda_c = \frac{\lambda}{\lambda^2 + \lambda} = \frac{1}{\lambda + 1}$

次数分布が指数分布

$p(k) = \lambda e^{- \lambda k}$のとき

$\lambda_c = \frac{\lambda^2}{2 \lambda} = \lambda / 2$

SIR model

$S(t) + I(t) + R(t) = 1$　が成立する。

ネットワークを考慮しない場合

時間$\Delta t$の間に感染者は$\mu$の確率で治癒し、健康人が$\lambda I(t)$の確率で感染するとする。

$\begin{align} \frac{d S(t)}{dt} &= -\lambda I(t)S(t) \\ \frac{d I(t)}{dt} &= \lambda S(t) I(t) - \mu I(t)\\ \frac{d R(t)}{dt} &= \mu I(t) \end{align}$

十分時間が経過した後の定常状態において十分量の$R(t)$が生じるためには、初期 ($t\sim 0$) から次第に病人が増えないと駄目。

$\begin{align} \frac{d I(0)}{dt} &= \lambda S(0) I(t) - \mu I(0) > 0 \\ \frac{\lambda}{\mu} &= \frac{1}{S(t= 0)} \end{align}$

つまり感染率$\lambda$が治癒率$\mu$を超える場合は病人の割合が増加する。逆の場合は病人が減少する一方になる。

SISモデルと同様、今後は一般性を失わずに$\mu=1$とおく。

一般のネットワークの場合

次数分布のみを考慮することにし、前出の式を次数kに限定して考える。

$\frac{d I_k(t)}{dt} = \lambda (1-I_k(t)) k\Theta(t) - I_k(t)$

SISモデルとの違いは、いちど感染した頂点がSに戻らずRになる点である。 関数$\Theta$を求めるには、Sに隣接する頂点がIである割合を考える。 ある頂点がIのとき、必ずその頂点を感染させる原因となる頂点(IかR)が存在する。 よって、隣接頂点の母関数をkp(k)の代わりに、大雑把に(k-1)p(k)と見積もろう。

$\begin{align} \Theta(\infty) &= \frac{1}{\langle k \rangle} \sum_j (j-1) p(j) I_k (\infty) \\ &= \frac{1}{\langle k \rangle} \sum_j (j-1) p(j) \frac{\lambda k \Theta(\infty)}{1 + \lambda k \Theta(\infty)} \end{align}$

この式が$\theta = 0$以外にも解を持つかどうかの分岐点は

$\frac{d y}{d \Theta} \Bigg|_{\Theta=0} = \frac{1}{\langle k \rangle} \sum_k (k-1)p(k)\lambda_c k = \frac{\langle k^2 \rangle - \langle k \rangle}{\langle k \rangle}\lambda_c = 1$

ここから、臨界確率$\lambda_c = \frac{\langle k \rangle}{\langle k^2 \rangle - \langle k \rangle}$となる。SISモデルとSIRモデルは基本的に結果が変わらない。

SIRモデルとパーコレーション

SIRモデルはいったん感染すると後はRに移動するだけである。したがって$t=\infty$における最終結果は各辺について一回ずつ感染か非感染かを評価するパーコレーションと変わらない。

このように、頂点ではなく辺に活性、非活性を割り当てる方式をボンド・パーコレーションと呼ぶ。