Aritalab:Lecture/Basic/Probability Generating Function

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レポートの書き方

Arita Laboratory

確率母関数

ある確率分布$Pr(X=k)$の確率母関数(probability generating function または pgf)を以下のように定義する。

$\textstyle G_X(z) = \Sigma_{k=0}^{\infty}\mbox{Pr}(X=k)z^k$

確率$\mbox{Pr}(X=k)$は全て正の値でkについて全て足しあわせると1になる。

$\textstyle G_X(1) = \Sigma_{k=0}^{\infty}\mbox{Pr}(X=k)z^k = \Sigma_{k=0}^{\infty}\mbox{Pr}(X=k) = 1$

逆に係数が非負で$G(1) = 1$であるようなべき級数$G(z)$があれば、それは何らかの確率母関数である。

平均と分散

確率母関数を使うと平均と分散の計算が容易にできる。

$\textstyle \begin{align} E(X) &= \Sigma_{k=0}^{\infty}k\mbox{Pr}(X=k) \\ &= \Sigma_{k=0}^{\infty}\mbox{Pr}(X=k) \cdot kz^{k-1} \bigg|_{x=1} \\ &= G_X'(1) \end{align}$

$\textstyle \begin{align} E(X^2) &= \Sigma_{k=0}^{\infty}k^2\mbox{Pr}(X=k) \\ &= \Sigma_{k=0}^{\infty}\mbox{Pr}(X=k) \cdot \big( k(k-1) z^{k-2} + kz^{k-1} \big) \bigg|_{x=1} \\ &= G_X''(1) + G_X'(1) \end{align}$

したがって

$\textstyle V(X) = G_X''(1) + G_X'(1) - G_X'(1)^2$

一様分布

n次の一様分布(uniform distribution)とは確率変数が${0, 1, \ldots, n-1}$の値を確率$1/n$でとるもの。

$\textstyle \mbox{Pr}(X=k) = 1/n$

確率母関数は以下の等比級数になる。 $\textstyle \mbox{U}_n(z) = \frac{1}{n}(1 + z + \cdots + z^{n-1}) = \frac{1}{n}\frac{1-z^n}{1-z}$

この式は$1-z$を分母に含んでしまうため、$\mbox{U}_n'(1)$や$\mbox{U}_n''(1)$を求める際に不都合である。そこでテイラーの定理を応用する。

$G(1+t) = G(1) + \frac{G'(1)}{1!} t + \frac{G''(1)}{2!} t^2 + \frac{G'''(1)}{3!} t^3 + \cdots$

この係数、つまり$G(z)$の導関数を以下の式と見比べればよい。

$\begin{align} \mbox{U}_n(1+t) &= \frac{1}{n}\frac{(1+t)^n - 1}{t} \\ &= \frac{1}{n}\binom{n}{1} + \frac{1}{n}\binom{n}{2} t + \frac{1}{n}\binom{n}{3} t^2 + \cdots + \frac{1}{n}\binom{n}{t} t^{n-1} \end{align}$

ここから

$\textstyle \mbox{U}_n(1) = 1 \quad \mbox{U}_n'(1) = \frac{n-1}{2} \quad \mbox{U}_n''(1) = \frac{(n-1)(n-2)}{3} \quad$

平均と分散は

$\textstyle \mbox{U}_n'(1) = \frac{n-1}{2} \quad \mbox{U}_n''(1) + \mbox{U}_n'(1) - \mbox{U}_n'(1)^2 = \frac{n^2-1}{12}.$

ポアソン分布

ポアソン分布とは単位時間中に平均$\lambda$回発生する事象がちょうどk回発生する確率。

$\textstyle \mbox{Pr}(X=k) = e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!}$

確率母関数は

平均と分散は

$\textstyle \mbox{G}'(1) = \lambda \quad \mbox{G}''(1) + \mbox{G}'(1) - \mbox{G}'(1)^2 = \lambda$