Aritalab:Lecture/NetworkBiology/Degree Distribution
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==次数分布== | ==次数分布== | ||
| − | 次数 k が全頂点の中で占める割合 p(k) | + | 次数 k が全頂点の中で占める割合 p(k) を次数分布といいます。確率分布なので総和は 1 です。 |
| − | <math>\textstyle \ | + | <math>\textstyle \sum_k p(k) = 1 </math> |
その平均値を、平均次数といい <k> = Σ k p(k) と書きます。 | その平均値を、平均次数といい <k> = Σ k p(k) と書きます。 | ||
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===隣接点の次数分布=== | ===隣接点の次数分布=== | ||
| − | 隣接する頂点の次数を <math> | + | 隣接する頂点の次数を <math>p ( j | k ) </math> と書きましょう。ここで次数 ''k'' の頂点に隣接する頂点の次数が ''j'' です。 |
すると次の式から、次数が ''j'' の頂点は相対的に j / <k> だけ、隣にきやすいはずです。 | すると次の式から、次数が ''j'' の頂点は相対的に j / <k> だけ、隣にきやすいはずです。 | ||
| − | <math> | + | <math>p(j|k) = \frac{j p(j)}{\sum_k k p(k)} = \frac{j}{\langle k \rangle}p(j) </math> |
| − | + | 隣の頂点には、ハブが来やすいことがわかります。その来やすさは、頂点の次数に正比例します。この次数の平均値を求めますが、k から j をたどる辺 1 本ぶんを最初に引いておきましょう。 | |
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| + | <math>-1 + \sum_{j} j p(j|k) = -1 + \frac{1}{\langle k \rangle} \sum_{j} j^2 p(j) = \frac{\langle k^2 \rangle - \langle k \rangle}{\langle k \rangle}</math> | ||
==次数相関== | ==次数相関== | ||
Revision as of 15:35, 3 August 2016
Contents |
次数分布
次数 k が全頂点の中で占める割合 p(k) を次数分布といいます。確率分布なので総和は 1 です。
その平均値を、平均次数といい <k> = Σ k p(k) と書きます。
隣接点の次数分布
隣接する頂点の次数を 
と書きましょう。ここで次数 k の頂点に隣接する頂点の次数が j です。
すると次の式から、次数が j の頂点は相対的に j / <k> だけ、隣にきやすいはずです。
隣の頂点には、ハブが来やすいことがわかります。その来やすさは、頂点の次数に正比例します。この次数の平均値を求めますが、k から j をたどる辺 1 本ぶんを最初に引いておきましょう。
次数相関
隣接する頂点どうしの次数が似る度合いを次数相関といいます。 辺がランダムに張られる場合は次数相関は 0 になりますが、映画俳優の競演関係といったネットワークはハブどうしが隣接する、つまり正の相関を持つ (assortative) ことが知られています。 生態系のような生物学ネットワークでは負の相関を持つ (disassortative) と考えられます。
次数相関の存在は次数 k の頂点につながる隣接点の平均次数を調べるとわかります。隣接点の平均次数は、次数分布や頂点の次数 k によらず一定値となります。
全頂点の次数が同じ時 <k2> = <k>2 となるので、隣接点の平均次数は <k> になります。また次数の偏りが大きくハブが存在する場合、隣接点の平均次数は <k> を大きくうわまわります。（つまり隣にハブが来やすくなる。）次数がポアソン分布に従う場合、<k2> = <k>2 + <k> が成り立ちます。ポアソン分布の場合は、隣接点の次数が正確に 1 増えますが、この1本を隣接点をたどる辺と考えます。つまり隣接点も次数 <k> です。
計算法
次数相関 r をピアソンの相関係数に従って定義しましょう。M 本ある辺の両端点 u, v の次数をそれぞれ ku, ku とおきます。相関係数の分子は ku, kv の平均からの差分を計算します。 分母は ku と kv の標準偏差の積ですが、実際には分散を計算します。
