Aritalab:Lecture/NetworkBiology/Markov Chains/StationaryDistribution

Revision as of 17:55, 15 October 2011

再帰時間の母関数

再帰時間と初再帰時間の間には以下の関係が成立します。

$\begin{align} p^{(n)}_{ii} &= f^{(0)}_{ii}p^{(n)}_{ii} + f^{(1)}_{ii}p^{(n-1)}_{ii} + f^{(2)}_{ii}p^{(n-2)}_{ii} + ... + f^{(n)}_{ii}p^{(0)}_{ii} \\ &= 0 p^{(n)}_{ii} + f^{(1)}_{ii}p^{(n-1)}_{ii} + f^{(2)}_{ii}p^{(n-2)}_{ii} + ... + f^{(n)}_{ii} 1 \\ &= \textstyle\sum^{n}_{k=1} f^{(k)}_{ii}p^{(n-k)}_{ii} \end{align}$

初通過時間も同様にあらわせます。

$p^{(n)}_{ij} = \textstyle\sum^{n}_{k=1} f^{(k)}_{ij}p^{(n-k)}_{jj}$

関数 f_ij と p_ij の母関数をそれぞれ F_ij(s) と P_ij(s) であらわします^[1]。

$\begin{align} F_{ij}(s) &= \textstyle\sum^{\infty}_{n=0} f^{(n)}_{ij}s^n \quad |s| < 1 \\ &= 0 s^0 + f^{(1)}_{ij} s + f^{(2)}_{ij} s^2 + f^{(3)}_{ij} s^3 ...\\ P_{ij}(s) &= \textstyle\sum^{\infty}_{n=0} p^{(n)}_{ij}s^n \quad |s| < 1 \\ &= 1 s^0 + p^{(1)}_{ij} s + p^{(2)}_{ij} s^2 + p^{(3)}_{ij} s^3 ... \end{align}$

(−1, 1) の間に収束する二つの数列の積はやはり(−1, 1) の間に収束することが知られています (Wade 2000)。

$\begin{align} F_{ii}(s) P_{ii}(s) &= \textstyle\sum^{\infty}_{r=1}\Big(\sum^{r}_{k=1}f^{(k)}_{ii}p^{(r-k)}_{ii}\Big) s^r \\ &= \textstyle\sum^{\infty}_{r=1} p^{(r)}_{ii} s^r \\ &= P_{ii}(s) - 1 \end{align}$

P_ii(s) から 1 を引くのは F_ii(s) P_ii(s) の第一項が $f^{0}_{ii} p^{0}_{ii} = 0$ であるのに対し P_ii(s) の第一項は 1 になるからです。この関係から以下が導かれます。

$\textstyle P_{ii}(s) = \frac{1}{1 - F_{ii}(s)}$

同じようにして、通過時間の母関数に対して

$F_{ij}P_{jj}(s) = P_{ij}(s) \quad (i \not= j)$

が成立します。こちらは P_ij(s) から 1 を引きません。これは P_ij(s) の第一項が 1 でなく 0 であることに由来します。

Abel の収束定理

以下の定理 (Abelの定理) は証明せずに利用します。

もし $\textstyle\sum^{\infty}_{k=0} a_k$ が収束する場合、 $\lim_{s\rightarrow 1^-}\textstyle\sum^{\infty}_{k=0} a_k s^k = \textstyle\sum^{\infty}_{k=0} a^k = a$
もし $a_k \geq 0, \ \lim_{s\rightarrow 1^-} \textstyle\sum^{\infty}_{k=0} a_k = a \leq \infty$ の場合、 $\textstyle\sum^{\infty}_{k=0} a^k = a$

定理：状態 i が再帰的（一時的）であることと $\textstyle\sum^{\infty}_{n=0} p^{(n)}_{ii} = \infty$ は同義

状態 i が再帰的であると仮定します。すなわち

$\textstyle\sum^{\infty}_{n=0} f^{(n)}_{ii} = 1$

このときAbelの定理から

$\lim_{s\rightarrow 1^-} \textstyle\sum^{\infty}_{n=0} f^{(n)}_{ii} s^n = \sum^{\infty}_{n=0} F_{ii}(s) = 1$

母関数の関係 P(s) = 1/(1 - F(s)) を用いると

$\lim_{s\rightarrow 1^-} \textstyle\sum^{\infty}_{n=0} p^{(n)}_{ii} s^n = \sum^{\infty}_{n=0} P_{ii}(s) = \infty$

したがって再びAbelの定理から $\textstyle\sum^{\infty}_{n=0} p^{(n)}_{ii} = \infty$ となります。

逆方向は背理法で示します。 $\textstyle\sum^{\infty}_{n=0} p^{(n)}_{ii} = \infty$ のときに状態 i が一時的 (transient) と仮定します。このときAbelの定理から

$\lim_{s\rightarrow 1^-} \textstyle\sum^{\infty}_{n=0} f^{(n)}_{ii} s^n = \sum^{\infty}_{n=0} F_{ii}(s) \leq 1$

母関数の関係 $P(s) = 1/(1 - F(s))$ を用いると

$\lim_{s\rightarrow 1^-} \textstyle\sum^{\infty}_{n=0} p^{(n)}_{ii} s^n = \sum^{\infty}_{n=0} P_{ii}(s) < \infty$

これは $\textstyle\sum^{\infty}_{n=0} p^{(n)}_{ii} = \infty$ と矛盾するので定理が証明できました。

補題：同じ同値類に属する状態は、再帰性に関する性質が等しい

状態 i, j が同じ同値類に属すと仮定し、m,n ステップでそれぞれ i → j, j → i の遷移が可能とします。すなわち $p^{(m)}_{ij} > 0, p^{(n)}_{ji} > 0$ です。

状態 i が再帰的 $\textstyle\sum^{\infty}_{k=0} p^{(k)}_{ii}= \infty$ と仮定します。状態 j について以下が成立するので、j もやはり再帰的です。

$\textstyle\sum^{\infty}_{k=0} p^{(k)}_{jj} \geq \sum^{\infty}_{k=0} p^{(n)}_{ji} p^{(k)}_{ii} p^{(m)}_{ji} = p^{(n)}_{ji} p^{(m)}_{ji} \sum^{\infty}_{k=0} p^{(k)}_{ii} = \infty$

状態 i が再帰的でなければ、i は一時的です。そのため同じ同値類に属す状態集合は、全て再帰的か、すべて一時的のどちらかです。

定常分布の極限定理

以下の定理の証明はいずれもKarlin & Tayler (1975) を参照してください。

定理：既約、再帰的、非周期的なマルコフ連鎖は以下を満たす

$\lim_{n \rightarrow \infty} p^{(n)}_{ij} = 1 / \mu_{jj}$

ここで $\mu_{jj}$ は状態 j の平均再帰時間です。i の値に関係ない (j に依存する)値に収束する点に注意します。

定理：既約、再帰的、周期 d のマルコフ連鎖は以下を満たす

周期 d を持つ場合、d の倍数にあたる遷移の時だけ

$\lim_{n \rightarrow \infty} p^{(nd)}_{ii} = d / \mu_{jj}$

それ以外は $p^{(m)}_{ii} = 0 \ (m \not= nd)$ になります。

状態 i が正再帰的な場合は $\mu_{ii}$ が有限の値ですが、ゼロ再帰的な場合は無限大、つまり $\lim_{n \rightarrow \infty} p^{(n)}_{ii} = 0$ になります。

定理：規約、正再帰的、非周期的なマルコフ連鎖は、定常分布 $\bar\pi = (\pi_1, \pi_2, ...)$ をただ一つ持つ

$\pi_j = \lim_{n \rightarrow \infty} p^{(n)}_{ij} \ (i, j = 1, 2, ...)$

マルコフ連鎖は有限でなくても良い点に注意します。定常分布をただ一つ持つような条件を、エルゴード的と呼びます。状態 i がエルゴード的な時、i は正再帰的、非周期的です。マルコフ連鎖がエルゴード的になるには、全ての状態がエルゴード的かつ規約でなくてはなりません。このとき、確率行列は以下を満たします。

$\lim_{n \rightarrow \infty} P^{n} = \begin{bmatrix} \pi_1 & \pi_2 & \pi_3 & \cdots \\ \pi_1 & \pi_2 & \pi_3 & \cdots \\ \pi_1 & \pi_2 & \pi_3 & \cdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \\ \end{bmatrix}$

つまり初期値に依存しない値になります。上の定理とあわせると、 $\ \pi_i = 1/\mu_{ii} > 0$ が導かれます。

補足

↑ f_ij と p_ijは一時的 (transient) かもしれないため総和は 1 以下の可能性があります。したがって確率母関数にはなっていません。

[0] _ij と p_ijは一時的 (transient) かもしれないため総和は 1 以下の可能性があります。したがって確率母関数にはなっていません。

[1]

@@ Line 117: / Line 117: @@
 状態 i が正再帰的な場合は <math>\mu_{ii}</math> が有限の値ですが、ゼロ再帰的な場合は無限大、つまり <math>\lim_{n \rightarrow \infty} p^{(n)}_{ii} = 0</math> になります。
-;定理：規約、正再帰的、非周期的なマルコフ連鎖は、定常分布 <math> \bar\pi = (\pi_1, \pi_2, ...) </math> をただ一つ持ち <math>\pi_j = \lim_{n \rightarrow \infty} p^{(n)}_{ij} \ (i, j = 1, 2, ...)</math>
+;定理：規約、正再帰的、非周期的なマルコフ連鎖は、定常分布 <math> \bar\pi = (\pi_1, \pi_2, ...) </math> をただ一つ持つ
+<math>\pi_j = \lim_{n \rightarrow \infty} p^{(n)}_{ij} \ (i, j = 1, 2, ...)</math>
 マルコフ連鎖は有限でなくても良い点に注意します。定常分布をただ一つ持つような条件を、エルゴード的と呼びます。

Aritalab:Lecture/NetworkBiology/Markov Chains/StationaryDistribution

Revision as of 17:55, 15 October 2011

再帰時間の母関数

Abel の収束定理

定常分布の極限定理

Personal tools

Namespaces

Variants

Views

Actions

Search

Navigation

metabolites

Toolbox