Aritalab:Lecture/JSBi/Test/Math

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=確率=
 
=確率=
−
===平均===
 
−
期待値とは、確率変数の取る値とその確率とをかけた総和である。フェアなサイコロのように全ての目が糖確率で出る場合は、目の数の期待値は（算術）平均に等しくなる。二つの確率変数X,Yがあったとき、和の平均は平均の和に等しい。
 
−
:<math>E[X+Y]=E[X]+E[Y]</math>
 
−
X,Yが独立のときに限り、積についても分配できる。
 
−
:<math>E[XY]=E[X]E[Y]</math>（ただしX,Yは独立）
 
−
===分散===
 
−
分散とは確率変数がとる値のばらつきの度合いである。
 
−
:<math>V[X] = E[(X-E[X])^2] = E[X^2] - (E[X])^2</math>
 
−
X,Yが独立のときに限り、和の分散は分散の和に等しい。
 
−
:<math>V[X+Y] = V[X] + V[Y]</math>（ただしX,Yは独立）
 
−
独立でない場合に生じる「ズレ」を共分散と呼ぶ。
 
−
:<math>V[X+Y] = V[X] + V[Y] + 2Cov[X,Y]</math>
 
−
===共分散・相関===
 
−
共分散は二組の対応する確率変数の間で、ばらつきが異なる度合いである。
 
−
共分散の定義は
 
−
:<math>Cov[X,Y]=E[ (X-E[X]) (Y-E[Y]) ]</math>
 
−
となる。
 
−
XとYに関して対称に定義されていて、XとYのばらつきの傾向が似ていれば大きな正の値になり、似ていなければ大きな負の値になる。XとYが独立であれば0になる。
 
−
共分散をXの標準偏差とYの標準偏差で割ったものが相関係数である。
 
−
:<math>Corr[X,Y] = Cov[X,Y] /(V[X]^{1/2}V[Y]^{1/2})</math>
 
−
===回帰===
 
  
−
===ベイズの定理===
+
* [[Aritalab:Lecture/Basic/Expectation|期待値と分散について]]
−
 
+
−
:<math>P(B|A) = P(A|B)P(B)/P(A)</math>
+
  
 
=分布=
 
=分布=
 +
* [[Aritalab:Lecture/Basic/Distribution|分布について]]
  
−
==正規分布==
+
=統計・推定=
−
よく見る釣鐘型の分布。どんな分布でも、その中から要素をランダムに抽出して和をとったものの分布は、正規分布に近づく（中心極限定理）。期待値が0, 分散が1になるようにスケーリングしたものを標準正規分布といい、<math>N(0,1)</math>と書く。
+
母集団から無作為に抽出された標本集団から、もとの母集団を統計的に推し量ることを推定という。
−
 
+
===回帰分析===
−
===正規分布表===
+
従属変数（近似したい値、目的変数ともいう）と説明変数（近似に用いるデータ）の関係を統計的に推定することを回帰分析という。
−
標準正規分布表の見方。
+
１個の説明変数から１個の従属変数を予測する場合を単回帰、説明変数を複数用いる場合を重回帰という。
−
{|
+
従属変数を<i>y</i>、説明変数を<i>x</i>とすると
−
|
+
:<math> y_i = a_{i1}x_{i1} + a_{i2}x_{i2} + ... a_{ij}x_{ij}</math>
−
{| class="wikitable"
+
の形でパラメータ<i>a_{ij}</i>を最小二乗法で決定する線形回帰が一般的。
−
| z || 0.0 || 0.2 || 0.4 || 0.6 || 0.8
+
−
|-
+
−
| 0.0 || 0.5000 || 0.4207 || 0.3446 || 0.2743 || 0.2119
+
−
|-
+
−
| 1.0 || 0.1587 || 0.1151 || 0.0808 ||0.0548 || 0.0359
+
−
|-
+
−
| 2.0 || 0.0228 || 0.0139 || 0.0082 || 0.0047 || 0.0026
+
−
|-
+
−
| 3.0 || 0.0013 || 0.0007 || 0.0003 || 0.0002 || 0.0001
+
−
|}
+
−
| [[Image:JSBi-Std.png|200px]]
+
−
|}
+
−
表におけるzの値は上から順に左→右方向にみる。正規分布全体の面積を1.0としたときの、
+
−
zから上側の面積を示している。例えば標準偏差が2.0以上の面積は0.0228、2.2以上の面積は0.0139。
+
−
 
+
−
==ポアソン分布==
+
−
稀にしか起こらない離散的な事象を数える際に用いる分布。
+
−
単位時間中に平均&lambda;回発生する事象が、ぴったりk回発生する確率を
+
−
:<math>P(N=k) = \frac{e^{-\lambda}\lambda^k}{k!}</math>
+
−
と定義する。
+
−
 
+
−
==二項分布==
+
−
 
+
  
−
==推定・検定==
+
==点推定と区間推定==
 +
標本の値から、母集団の平均値や分散を予測することを点推定（数値を点として予測）と呼び、その推定がどれ位ずれているかを区間推定と呼ぶ。

Latest revision as of 15:35, 24 May 2011

Contents

[edit] 確率

[edit] 分布

[edit] 統計・推定

母集団から無作為に抽出された標本集団から、もとの母集団を統計的に推し量ることを推定という。

[edit] 回帰分析

従属変数（近似したい値、目的変数ともいう）と説明変数（近似に用いるデータ）の関係を統計的に推定することを回帰分析という。 １個の説明変数から１個の従属変数を予測する場合を単回帰、説明変数を複数用いる場合を重回帰という。 従属変数をy、説明変数をxとすると

y_i = a_{i1}x_{i1} + a_{i2}x_{i2} + ... a_{ij}x_{ij}

の形でパラメータa_{ij}を最小二乗法で決定する線形回帰が一般的。

[edit] 点推定と区間推定

標本の値から、母集団の平均値や分散を予測することを点推定（数値を点として予測）と呼び、その推定がどれ位ずれているかを区間推定と呼ぶ。

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