Aritalab:Lecture/NetworkBiology/Zipf

Zipf の法則とランク・サイズ則

都市毎の人口や会社の規模、個人の所得を大きさの順に並べて順位 r をつけ、その大きさを $x_r$ とおくと

$x_r = C r^{-(1+\alpha)}\ \,(C, \alpha: const.)$

の形になります（α の値は小さい）。一般には Zipf の法則として知られる関係は、Rank-Size Rule とも呼ばれます。

ランダムな区画取り

ランダムに 2 点をとったとき、 2 点間の距離の分布

線分 [0,1] 上にランダムにとる点を y とします。 y から距離 x と x + dx の間に 2 点目を取る確率を計算しましょう。

• 0 または 1 から幅 x 以内に y をとるとき (確率 2 x)

y から x 離れた地点は片側にしかとることができません。2 番目の点が x と x + dx の間に落ちる確率は 2x dx です。

• 残りの範囲に y をとるとき (確率 1 - 2x)

y から x 離れた地点を両側にとれます。2 番目の点が x と x + dx の間に落ちる確率は 2(1-2x) dx です。

結局、2 点間の距離の確率は以下のようになります。

$\,f(x) dx = 2 x dx + 2 (1-2x) dx = 2(1-x)dx$

平均値は 1/3 です。

$\int^1_0 x f(x) dx = \int^1_0 -2x^2 + 2x dx = 1/3$

ランダムに 2 点をとる作業を n 回繰り返したとき、r 番目の距離の分布

ランダムにとった区間長が w より長い確率 p 、短い確率 q はそれぞれ以下のようになります。

$\begin{align} p(w) &=\textstyle \int^1_{w} f(x) dx = (1 - w)^2 \\ q(w) &= 1 - p(w) \end{align}$

n 回繰り返したときに、r 番目に長い区間が x である確率 $g_r(x)$ は r − 1 個が x より長く、n − r 個が、より短い区間であることに相当します。

$\begin{align} g_r(x) &= \frac{n!}{(n-r)!(r-1)!}p(x)^{r-1}q(x)^{n-r} f(x) \\ &= \frac{n!}{(n-r)!(r-1)!} (1 - x)^{2(r-1)}[1-(1 - x)^2]^{n-r} \cdot 2(1-x) \end{align}$

期待値を計算するのに $(1-x)^2 = z$ と変数変換します。 微分すると $dz/dx = 2(x-1)$ です。

$\begin{align} E[g_r(x)] &= \int^1_0 x g_r(x) dx\\ &= \frac{n!}{(n-r)!(r-1)!} \int^0_1 (1-z^{1/2}) z^{r-1}(1-z)^{n-r} \cdot 2(1-x) dz (dx/dz) \\ &= \frac{n!}{(n-r)!(r-1)!} \int^1_0 (1-z^{1/2}) z^{r-1}(1-z)^{n-r} dz \\ &= \frac{n!}{(n-r)!(r-1)!}\big[ \int^1_0 z^{r-1}(1-z)^{n-r} dz - \int^1_0 z^{r-1/2}(1-z)^{n-r} dz\big] \\ &= \frac{n!}{(n-r)!(r-1)!}\big[ \frac{\Gamma(r)\Gamma(n-r+1)}{\Gamma(n+1)} - \frac{\Gamma(r+\frac{1}{2})\Gamma(n-r+1)}{\Gamma(n+\frac{3}{2})} \big] \\ &= \frac{n!}{(n-r)!(r-1)!}\big[ \frac{(r-1)!(n-r)!}{n!} - \frac{\Gamma(r+\frac{1}{2})}{\Gamma(n+\frac{3}{2})} (n-r)! \big] \\ &= 1 - \frac{n!}{(r-1)!}\frac{\Gamma(r+\frac{1}{2})}{\Gamma(n+\frac{3}{2})} \end{align}$

一番長い区間の期待値

$\begin{align} E[g_1(x)] &= 1 - n! \cdot \frac{\Gamma(\frac{3}{2})}{\Gamma(n + \frac{3}{2})} \\ &= 1 - \frac{\sqrt{\pi}}{2} \frac{n!}{\Gamma(n + \frac{3}{2})} \end{align}$

一番短い区間の期待値

$\begin{align} E[g_n(x)] &= 1 - n \cdot \frac{\Gamma(n+\frac{1}{2})}{\Gamma(n+\frac{3}{2})}\\ &= 1 - \frac{2n}{2n+1} \end{align}$

ランダムな分割

線分を s 個に分割した時の長さの期待値

まず、線分 [0,1] を 3 個に分割する場合を考えます。ランダムに 2 点を取ったとき、任意に選んだ断片の長さが x である確率を $f_3(x)$ とします。一般性を失わずにこの断片が左端とします。2 点のうち、1 つは x の位置に固定し (2 通り)、残りは (1 − x) の中から選べます。

$f_3(x) = 2 (1-x)$

この値は、ランダムに 2 点を取ったときの二点間の距離に等しくなっていて、長さの期待値は 1/3 です。

ランダムに s 点を取るときも同様に考えます。s 点のうち 1 つを x の位置に固定し、残りは (1 − x) の中から選びます。s 個に分割するとき、任意に選んだ断片の長さが x になる確率は

$f_s(x) = (s-1) (1-x)^{s-2}$

期待値は

$\int^1_0 x f_s(x) dx = - \int^1_0 (1-x)^{s-1} dx = - \frac{1}{s} \Big[ (1-x)^s \Big]^1_0 = \frac{1}{s}$

線分を s 個に分割した時の長さの差の期待値

線分 [0,1] をランダムに s 分割するとき、得られる線分の長さを短いものから長いものに並べ替えて $l_1, l_2, \cdots, l_s$ と書きましょう。ここで $l_1< l_2 < \cdots < l_s$ また $\textstyle \sum^s_{i=1} l_i =1$ です。

ここで r 番目の線分と r+1 番目の線分の差を $d_r$ と書きます。

$\begin{align} d_1 &= l_2 - l_1,\\ d_2 &= l_3 - l_2,\\ &\cdots\\ d_{s-2} &= l_{s-1} - l_{s-2}\\ d_{s-1} &= l_s - l_{s-1} \end{align}$

このとき $\textstyle l_r = l_1 + \sum^{r-1}_{i=1} d_i$ です。全ての線分を足し合わせると長さは 1 になります。

$\begin{align} 1 &= l_1 + l_2 + l_3 + \cdots + l_{s-1} + l_s\\ &= sl_1 + (s-1)d_1 + (s-2)d_2 + \cdots + 2 d_{s-2} + d_{s-1} \end{align}$

ここで、新たに 1 点を追加する過程を考えましょう。ランダムに追加する 1 点は $sl_1$ の確率で（ s + 1 個に増えたときに）最短の線分を作り、$(s-1)d_1$ の確率で 2 番目に短い線分を作り、$(s-2)d_2$ の確率で 3 番目に短い線分を作ります。しかし、どの線分も全て等確率で生じるはずなので、結果として以下が成立します。

$\textstyle E[sl_1] = E[(s-1)d_1] = E[(s-2)d_2] = \cdots = E[d_{s-1}] = \frac{1}{s}$

ここから

$\textstyle E[l_1] = \frac{1}{s^2},\ E[d_1] = \frac{1}{s(s-1)},\ E[d_2] = \frac{1}{s(s-2)},\ \cdots$

$\textstyle E[d_i] = \frac{1}{s(s-i)},\ \cdots \ E[d_{s-1}] = \frac{1}{s}$

線分を s 個に分割してから順位づけした時の期待値

線分の差である d_i の期待値から、初めに仮定した l の期待値を求めましょう。 短い方から i 番目の長さは

$\begin{align} E[l_2] &= \textstyle l_1 + d_1 = \frac{1}{s^2} + \frac{1}{s(s-1)}\\ E[l_3] &= \textstyle l_1 + d_1 + d_2 = \frac{1}{s^2} + \frac{1}{s(s-1)} + \frac{1}{s(s-2)}\\ \cdots \\ E[l_i] &= \textstyle \frac{1}{s}\sum^{i-1}_{j=0}\frac{1}{s-j}\\ &= \textstyle \frac{1}{s} (\sum^{s}_{j=1}\frac{1}{j} - \sum^{s-i}_{j=1}\frac{1}{j})\\ &\simeq \textstyle \frac{1}{s} \log\frac{s}{s-i} \end{align}$

同様に、長いほうから順番に並べた場合は i 番目の長さは

$\begin{align} E[l_i] &= \textstyle\frac{1}{s}\sum^{s-i}_{j=0}\frac{1}{s-j}\\ &= \textstyle\frac{1}{s}(\sum^{s}_{j=1}\frac{1}{j} - \sum^{i-1}_{j=1}\frac{1}{j})\\ &\simeq \textstyle\frac{1}{s} \log\frac{s}{i-1} \end{align}$