Aritalab:Lecture/Math/LR
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最小二乗法とは残差の二乗和 S を最小化するアプローチです。 | 最小二乗法とは残差の二乗和 S を最小化するアプローチです。 | ||
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| − | S の最小値を満たす b<sub>0</sub> と b<sub>1</sub> を求めるには、S を b<sub>0</sub> と b<sub>1</sub> | + | : S = <big>Σ</big><sub>i</sub> r<sub>i</sub><sup>2</sup> = <big>Σ</big> (b<sub>0</sub> + x<sub>i</sub>b<sub>1</sub> - y<sub>i</sub>)<sup>2</sup> |
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| + | S を b<sub>0</sub> と b<sub>1</sub> による二次関数とみなします。S の最小値を満たす b<sub>0</sub> と b<sub>1</sub> を求めるには、S を b<sub>0</sub> と b<sub>1</sub> のそれぞれで(偏)微分して 0 とおいた連立方程式を解けばOKです。二乗の式をそのまま微分します。 | ||
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| + | :∂S/∂b<sub>0</sub> = ∑ 2( b<sub>0</sub> + x b<sub>1</sub> - y) = 0 | ||
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| + | ここから、 y = x b<sub>1</sub> + b<sub>0</sub> という式が出てきます。つまり、目的の b<sub>0</sub> と b<sub>1</sub> は | ||
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| − | :<math>\mathbf{y = Xb} \quad \mathbf{y} = \begin{bmatrix} y_1\\ y_2\\ | + | :<math>\mathbf{y = Xb} \quad \mathbf{y} = \begin{bmatrix} y_1\\ y_2\\ \vdots \\ y_n \end{bmatrix}, \mathbf{X} = \begin{bmatrix} 1&x_1\\ 1&x_2\\ \vdots&\vdots\\ 1&x_n \end{bmatrix}, \mathbf{b} = \begin{bmatrix} b_0\\ b_1 \end{bmatrix}</math> |
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これから逆行列を用いて <b>b</b> を表せば | これから逆行列を用いて <b>b</b> を表せば | ||
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:<b>b = (X<sup>T</sup>X)<sup>-1</sup>X<sup>T</sup>y</b> | :<b>b = (X<sup>T</sup>X)<sup>-1</sup>X<sup>T</sup>y</b> | ||
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与えられた y, x からこの式を計算するだけで自動的に b の値が求まるのです。 | 与えられた y, x からこの式を計算するだけで自動的に b の値が求まるのです。 | ||
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| + | すべての行列に逆行列があるわけではありません。そもそも正方（X,Y方向が同じ段数）でないと、逆行列はありません。しかし普通の行列は正方ではありません。そこで正方行列を無理やり作る方法が、自分の転置行列をかけるやり方です。 <b>X<sup>T</sup>X</b> は必ず正方になります。そこで <b>y = X b</b> の左側から <b>X<sup>T</sup></b> をかけて | ||
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| + | この式から b を求めることができます。 | ||
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===行列のランク落ち=== | ===行列のランク落ち=== | ||
線形代数における行列のランク落ちとは、線形独立な変数の数が次数より少ない状態を指します。 | 線形代数における行列のランク落ちとは、線形独立な変数の数が次数より少ない状態を指します。 | ||
回帰分析でいうと、説明変数間に非常に相関が高いものがある場合です（共線性といいます）。 | 回帰分析でいうと、説明変数間に非常に相関が高いものがある場合です（共線性といいます）。 | ||
このとき、逆行列の計算も上手くいかず、 <b>b</b> の値がおかしくなります。 | このとき、逆行列の計算も上手くいかず、 <b>b</b> の値がおかしくなります。 | ||
Latest revision as of 11:45, 8 September 2016
Contents |
[edit] 回帰分析
回帰分析には 1 変量の単回帰 (univariate linear regression) と多変量の重回帰 (multivariate linear regression) があります。モデルしたい変量を y (目的変量）、説明に使う変量を x 、係数を b で表します（ b0 は定数項）。
- (重)回帰モデル
- y = b0 + x1 b1 + x2 b2 + ... + xn bn （つまり y を複数の変量 x1～xn の線形結合でモデルするやり方）
特に 1 変数の場合を単回帰モデルといいます。
[edit] 最小二乗法
ここでは最適パラメータを求める最小二乗法を単回帰を使って説明します。
- y1 = b0 + x1 b1 + r1
- y2 = b0 + x2 b1 + r2
- : :
- yn = b0 + xn b1 + rn
| y ... 目的となる変数（説明される側なので従属変数とよぶ） |
| x ... 説明に使う変数（原因となる側なので独立変数とよぶ） |
| r ... 残差 （説明しきれない部分） |
というデータがあると仮定しましょう。y と x が与えられ、ここで決めたいのは最適な b0, b1 の値です。r は残差 (residual) といって、yi と b0 + xib1 との差を表します。
最小二乗法とは残差の二乗和 S を最小化するアプローチです。
- S = Σi ri2 = Σ (b0 + xib1 - yi)2
S を b0 と b1 による二次関数とみなします。S の最小値を満たす b0 と b1 を求めるには、S を b0 と b1 のそれぞれで(偏)微分して 0 とおいた連立方程式を解けばOKです。二乗の式をそのまま微分します。
- ∂S/∂b0 = ∑ 2( b0 + x b1 - y) = 0
- ∂S/∂b1 = ∑ 2( b0 + x b1 - y) x = 0
ここから、 y = x b1 + b0 という式が出てきます。つまり、目的の b0 と b1 は
- y1 = b0 + x1 b1
- y2 = b0 + x2 b1
- : :
- yn = b0 + xn b1
を満たすことになります。これを行列の形に書くと
これから逆行列を用いて b を表せば
- b = (XTX)-1XTy
となります（XTについては、以下の一般逆行列の説明を参照）。重回帰の場合も同じ式になります（行列 X の列数が増えるだけ）。 与えられた y, x からこの式を計算するだけで自動的に b の値が求まるのです。
[edit] 一般逆行列
すべての行列に逆行列があるわけではありません。そもそも正方（X,Y方向が同じ段数）でないと、逆行列はありません。しかし普通の行列は正方ではありません。そこで正方行列を無理やり作る方法が、自分の転置行列をかけるやり方です。 XTX は必ず正方になります。そこで y = X b の左側から XT をかけて
- XT y = (XTX) b
この式から b を求めることができます。
[edit] 行列のランク落ち
線形代数における行列のランク落ちとは、線形独立な変数の数が次数より少ない状態を指します。 回帰分析でいうと、説明変数間に非常に相関が高いものがある場合です（共線性といいます）。 このとき、逆行列の計算も上手くいかず、 b の値がおかしくなります。
