Aritalab:Lecture/Math/Ideal

イデアル

イデアルの定義

部分集合 I ⊂ k[ x₁, ... , x_n ] がイデアルであるとは

1. 0 ∈ I
2. f, g ∈ I ならば f + g ∈ I
3. f ∈ I かつ h ∈ k[ x₁, ... , x_n ] ならば hf ∈ I

を全て満たす場合をいう。

f₁, ... , f_s を多項式の集合 k[ x₁, ... , x_n ] に含まれる式とする。 < f₁, ... , f_s > = Σ^s_i=1 h_if_i : h_i ∈ k[ x₁, ... , x_n ] と定義すれば、これは f₁, ... , f_s により生成されるイデアルである。

証明

< f₁, ... , f_s > は多項式集合に含まれる要素と f₁, ... , f_s との線形和である。 零元を含み、和と積について閉じているのはあたりまえ。

逆に任意のイデアル I について I = < f₁, ... , f_s > となる多項式 f₁, ... , f_s を用意することができ、これを I の基底という。同じイデアルは多くの異なる基底を持ちうるが、それらの張るアフィン多様体は一致する。

例

< 2 x² + 3 y² - 11 , x² - y² - 3 > = < x² - 4, y² - 1 > を示そう。

前者における２つの式から まず x² を消去すると y² - 1 = 0 が得られる。また y² を消去すると x² - 4 = 0 が得られる。つまり < x² - 4, y² - 1 > となる。

アフィン多様体 V に対し I(V) = { f ∈ k[ x₁, ... , x_n ] : ∀ (a₁, ... , a_n) ∈ V, f(a₁, ... , a_n) = 0 } とおくと I(V) はイデアルになる。これを V のイデアルと呼ぶ。

証明

I(V) は零元を含んでる。また f, g ∈ I(V) と仮定したとき、 f + g も 0 になるし 0 に h ∈ k[ x₁, ... , x_n ] をかけても 0 なのでイデアルになる。

例

k² の原点のみからなる多様体 { (0,0) } のイデアルは原点で消える全ての多項式からなるので I( { (0,0) } ) = <x,y>.

kⁿ 全体からなる多様体のイデアルは、至るところで消える多項式からなるので I(kⁿ) = { 0 }.

よじれ3次曲線 V(y - x², z - x³) からなる多様体のイデアルは < y - x², z - x³ >.

ただし、多項式 f₁, ... , f_s からなる多様体のイデアルが常に < f₁, ... , f_s > とは限らない。通常は < f₁, ... , f_s > ⊂ I ( V(f₁, ... , f_s) ) となる。

例

x², y² からなる多様体は x² = 0, y² = 0 より原点のみである。そのイデアルは <x,y> であり、<x², y²> よりも真に大きい。

一般に２つのアフィン多様体 V, W が与えられたとき

• V ⊂ W と I(V) ⊃ I(W) は同値
• V = W と I(V) = I(W) は同値

となる。イデアルは多様体の基底となる制約を意味するため、より範囲の大きな多様体の制約（イデアル）は小さくなる。

今後、以下の問を考えていく。

1. 任意のイデアルは多項式の集合 f₁, ... , f_s を用いて < f₁, ... , f_s > と書けるか？