Aritalab:Lecture/Basic/Expectation

期待値・平均

定義 E[確率変数] = Xの値とその値をとる確率の総和

期待値とは、確率変数（例えばサイコロ）の取る値とその確率とをかけた総和です。 通常「平均」というと、全ての要素が等確率で生じているという前提があるので、数学では期待値という言葉を使います。期待値は英語でExpectationなので E[確率変数] と書きます。

例 サイコロの期待値

E[フェアなサイコロ] = 1/6 + 2/6 + 3/6 + 4/6 + 5/6 + 6/6 = 3.5

E[フェアなコインで表が出る] = 1 * 1/2 + 0 * 1/2 = 0.5

コインのときは、表が出たら1, 裏が出たら0として計算しています。

E[nX] = n E[X] (n: 実数)

期待値は確率変数の値の和をとっているだけなので、変数の値が全てn倍されたら期待値もn倍されます。

E[X+Y]=E[X]+E[Y]

二つの確率変数X,Yがあったとき、和の期待値は、期待値の和に等しいという性質は、確率変数が互いに独立でなくても成立します。期待値の定義を良く考えると確率の足し算をしているだけですから、和について「くくりだし」が可能です。

確率変数という言葉がわかりにくい場合は、サイコロと考えてください。二つのサイコロの目を足した数の期待値（平均）は、個々のサイコロの期待値（平均）の和ということです。例えば、サイコロ2個を振って出る目を足した数の平均値を数え上げて求めるのは、目の組み合わせが1,1の場合から6,6の場合まで数え上げなくてはならず大変です。 しかし、上の式を用いれば簡単に求められます。

例 サイコロ2個の和の期待値

E[サイコロ2個] = E[サイコロ1個] + E[サイコロ1個] = 3.5 + 3.5 = 7

E[コイン10枚で表が出る] = 10 * E[コイン1枚] = 10 * 1/2 = 5

では、サイコロの目を足すかわりに掛けた場合、目の期待値を簡単に求められるでしょうか。 二つのサイコロが独立のときに限り、期待値は積についても分配できます。

例 サイコロ2個の積の期待値

E[サイコロ2個の積] = ( E[サイコロ1個] )² = (3.5)² = 12.25

E[コイン2枚の積] = ( E[コイン1枚] )² = (1/2)² = 0.25

コイン2枚のほうは、両方とも表が出ないと積が1になりません。期待値0.25という結果は納得がいきます。