Aritalab:Lecture/NetworkBiology/Zipf
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Zipf の法則とランク・サイズ則
都市毎の人口や会社の規模、個人の所得を大きさの順に並べて順位 r をつけ、その大きさを とおくと
の形になります(α の値は小さい)。一般には Zipf の法則として知られる関係は、Rank-Size Rule とも呼ばれます。
ランダムな区画取り
ランダムに 2 点をとったとき、 2 点間の距離の分布
線分 [0,1] 上にランダムにとる点を とします。一般性を失わずに とします。 から距離 x と x + dx の間に 2 点目を取る確率を計算します。
- 0 または 1 から幅 x 以内に をとるとき
確率 2 x で から x 離れた地点は片側にしかとることができません。2 番目の点が x と x + dx の間に落ちる確率は です。
- 残りの範囲に をとるとき
確率 1 - 2 x で から x 離れた地点を両側にとることができます。2 番目の点が x と x + dx の間に落ちる確率は となります。
結局、2 点間の距離の確率は で与えられます。平均値は 1/3 になります。
ランダムに 2 点をとる作業を n 回繰り返したとき、r 番目の距離の分布
ランダムにとった区間長が より長い確率 p 、短い確率 q はそれぞれ
となります。n 回繰り返したときに、r 番目の区間長が である期待値 は 個が より短く、 個が より長い区間を得ることに相当します。
期待値を計算するのに と変数変換します。 微分すると です。
一番長い区間の期待値
一番短い区間の期待値