Aritalab:Lecture/NetworkBiology/Markov Chains/Genetics
From Metabolomics.JP
Inbreeding
遺伝子の優性アレル A と劣性アレル a の交配パターンをモデルしましょう。アレルを A, a で表すと、遺伝型は AA, Aa, aa の 3 通り、交配パターンは AA × AA, AA × Aa, Aa × Aa, AA × aa, Aa × aa, aa × aa の 6 通りあります。親子のアレルパターンを行列であらわすと以下のようになります。
- 親が AA × AA の場合、子供は必ず AA なので、子供どうしのかけ合わせも AA × AA
- 親が AA × Aa の場合、子供は確率 1/2, 1/2 で AA, Aa なので、子供のかけ合わせは AA × AA, AA × Aa, Aa × Aa
- 親が Aa × Aa の場合、子供は確率 1/4, 1/2, 1/4 で AA, Aa, aa なので、子供のかけ合わせは全パターンが生じる
- 親が Aa × aa の場合、子供は確率 1/2 で Aa, aa なので、子供のかけ合わせは Aa × Aa, Aa × aa, aa × aa
- 親が AA × aa の場合、子供は必ず Aa なので、子供どうしのかけ合わせは Aa × Aa
- 親が aa × aa の場合、子供は必ず aa なので、子供どうしのかけ合わせも aa × aa
確率行列 P | children | |||||
---|---|---|---|---|---|---|
parents ↓ | AA × AA | AA × Aa | Aa × Aa | Aa × aa | AA × aa | aa × aa |
AA × AA | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
AA × Aa | 1/4 | 1/2 | 1/4 | 0 | 0 | 0 |
Aa × Aa | 1/16 | 1/4 | 1/4 | 1/4 | 1/8 | 1/16 |
Aa × aa | 0 | 0 | 1/4 | 1/2 | 0 | 1/4 |
AA × aa | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 |
aa × aa | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 |
ここで
これは 6 状態のマルコフ連鎖で、AA × AA と aa × aa が吸収状態になっています。真ん中の赤で示した 4 × 4 行列( T と書きましょう)は過渡的状態で、 です。この行列 T に対して n 乗を計算すれば、n 世代後における遺伝型の分布を求められます。
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ここで行列の級数 を利用すれば