Aritalab:Lecture/NetworkBiology/Coupled Oscillator

系の安定性

一般的な 2 次元の系 $f(x, y),\, g(x,y)$ を考え、不動点を $(x^*, y^*)$ としましょう。

$f(x^*, y^*) = 0,\ g(x^*, y^*) = 0$

不動点に近い位置を $x = x^* + \epsilon_x\, y = y^* + \epsilon_y$ と書くと

$\begin{align} \frac{dx}{dt} &= \frac{d\epsilon_x}{dt} = f(x^* + \epsilon_x, y^* + \epsilon_y)\\ &= f(x^*, y^*) + e_x f^{(x)}(x^*, y^*) + e_y f^{(y)}(x^*, y^*) + \cdots \\ &\simeq \epsilon_x f^{(x)}(x^*, y^*) + \epsilon_y f^{(y)}(x^*, y^*) \end{align}$

となります。関数 g についても同様です。これをヤコビ行列の形に書けば

$\frac{d \boldsymbol{\epsilon}}{dt} =\begin{pmatrix} \frac{\delta f}{\delta x} & \frac{\delta f}{\delta y} \\ \frac{\delta g}{\delta x} & \frac{\delta g}{\delta y} \end{pmatrix} \boldsymbol{\epsilon} = \mathbf{J} \boldsymbol{\epsilon}$

です。ヤコビアンの簡単な場合として対角行列を考えましょう。

$\binom{\frac{d \epsilon_x}{d t}}{\frac{d \epsilon_y}{d t}} = \begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 \\ 0 & \lambda_2 \end{pmatrix} \binom{\epsilon_x}{\epsilon_y}$

この解は以下のようになります。

$\epsilon_x(t) = \epsilon_x(0) e^{\lambda_1 t}, \ \epsilon_y(t) = \epsilon_y(0) e^{\lambda_2 t}$

x, y について書き直すと以下になります。

$x(t) = x^* + \epsilon_x(0) e^{\lambda_1 t}, \ y(t) = y^* + \epsilon_y(0) e^{\lambda_2 t}$

つまり $\lambda_1, \lambda_2$ の値（それぞれ不動点における関数 f, g の微分値) が共に負であれば $(x^*, y^*)$ は誘引点、共に正であれば反発点、片方だけ負であれば鞍点 (saddle point) となります。

ヤコビアンが対角行列でない場合、行がヤコビアンの左固有ベクトルに対応する行列 $\mathbf{Q}$ を用意し、 $\xi_x, \xi_y$ を定義します。

$\boldsymbol{\xi} = \mathbf{Q}\boldsymbol{\epsilon}$

$\frac{d \boldsymbol{\xi}}{dt} = \mathbf{Q}\frac{d \boldsymbol{\epsilon}}{dt} = \mathbf{QJ} \boldsymbol{\epsilon} = \mathbf{QJQ^{-1}} \boldsymbol{\xi}$

もし $\mathbf{J}$ の固有ベクトルを求めることができれば　 $\mathbf{QJQ^{-1}}$ が対角行列になり、 $\xi_x, \xi_y$ は互いに独立に時間発展することになります。

固有値が複素数になる場合 $\lambda_1 = \alpha + i \omega\,$ 、一般解は指数的に増減する部分と振動する部分の積になります (C: 虚数, A, B: 実数)。

$\, \xi_1(t) = \mbox{Re}[ C e^{(\alpha+ i\omega)t}] = e^{\alpha t} (A \cos \omega t + B \sin \omega t)$

パラメータ α が負の場合は不動点に落ち込むスパイラル（安定点）になり、正の場合は不動点から遠ざかる不安定点です。一点に落ち込むことなく、安定した軌道を描く場合もあります。これをリミットサイクルと呼びます。

結合振動子

自然振動にばらつきのある素子が相互作用する系を考えましょう。この分野で最も重要な貢献をした統計物理学者が蔵本由紀です。同期のしやすさはネットワークの形状によりますが、ここでは最も簡単な場合として2個の振動子を考えます。

2つの振動子

振動子の振る舞いは以下の式で記述されます。

$\begin{align} \textstyle \frac{d\theta_1}{dt} &= \omega_1 + k \sin(\theta_2 - \theta_1) \\ \textstyle \frac{d\theta_2}{dt} &= \omega_2 - k \sin(\theta_2 - \theta_1) \end{align}$

$\omega_i/2\pi$ は i　に固有の周波数です。また $\,k \sin(\theta_2 - \theta_1)$ の部分は振動子どうしの引き込み項に対応し、位相の大きさによって周波数に影響を与えます。周波数の差分 $\phi = \theta_2 - \theta_1$ が $0 < \phi < \pi$ のとき（つまり振動子2が1より前にいるとき）は振動子1が加速して振動子2が減速し、逆に差分が $\pi < \phi < 2\pi$ のときは振動子1が減速して振動子2が加速します。

k (>0) が十分に大きければ振動子は同期、つまり共通の振動数をとって $\phi$ が安定します。もし $\omega_1 = \omega_2$ であれば k = 0 でも同期するため、一般性を失わずに $\omega_1 < \omega_2$ と仮定して、上式の差分を考えましょう。

$\textstyle \frac{d\phi}{dt} = \omega_2 - \omega_1 - 2 k \sin \phi$

定常状態では　 $\textstyle \frac{d\phi}{dt} = 0$ だから

$\textstyle \sin \phi = \frac{\omega_2 - \omega_1}{2k}$ 、つまり $\textstyle \phi = \arcsin \big(\frac{\omega_2 - \omega_1}{2k}\big)$ ( $\textstyle 0 < \frac{\omega_2 - \omega_1}{2k} \leq 1$ )

値 $\phi$ 付近の振動子の振る舞いをみましょう。関数 $\,y = -2k \sin \phi + (\omega_2 - \omega_1)$ は正のy切片を持ち $-\sin \phi$ の波形を描きながら $\phi = \pi/2$ において極小値 $(\omega_2 - \omega_1) -2k$ をとり、 $\phi = \pi$ において正の値に戻ります。よって k の値によって以下の場合があります。

k が大きく極小値が負の場合：　解を2つ持つ。そのうち $0 < \phi < \pi/2$ となるほうは振動子2が振動子1の前にある状態で、安定解となる。もう片方は不安定解になる。
k が適切な値で極小値が0の場合: 解を1つ持つ。この値は不安定解になる。
k が0に近く、極小値が正の場合: 解を持たない。つまり定常状態が存在しない。

結論として、 $\textstyle \sin \phi = \frac{\omega_2 - \omega_1}{2k_c} = 1$ を満たす臨界値 $k_c$ が存在し、この値より k が大きい場合は安定解 $\phi^*$ が存在します。それと等しいか、小さい場合は安定解が存在せず、二つの振動子が同期することはありません。