Aritalab:Lecture/NetworkBiology/Coupled Oscillator

結合振動子

自然振動にばらつきのある素子が相互作用する系を考える。同期のしやすさはネットワークの形状によるが、ここでは最も簡単な場合として2個の振動子を考える。

2つの振動子

振動子の振る舞いは以下の式で記述される。

$\begin{align} \textstyle \frac{d\theta_1}{dt} &= \omega_1 + k \sin(\theta_2 - \theta_1) \\ \textstyle \frac{d\theta_2}{dt} &= \omega_2 - k \sin(\theta_2 - \theta_1) \end{align}$

$\omega_i/2\pi$ は i　に固有の周波数をあらわす。また $k \sin(\theta_2 - \theta_1)$ の部分は振動子どうしの引き込み項に対応し、位相の大きさによって周波数に影響を与える。周波数の差分 $\phi = \theta_2 - \theta_1$ が $0 < \phi < \pi$ のとき（つまり振動子2が1より前にいるとき）は振動子1が加速して振動子2が減速し、逆に差分が $\pi < \phi < 2\pi$ のときは振動子1が減速して振動子2が加速する。

k (>0) が十分に大きければ振動子は同期、つまり共通の振動数をとって $\phi$ が安定する。もし $\omega_1 = \omega_2$ であれば k = 0 でも同期するため、一般性を失わずに $\omega_1 < \omega_2$ と仮定して、上式の差分を考えよう。

$\textstyle \frac{d\phi}{dt} = \omega_2 - \omega_1 - 2 k \sin \phi$

定常状態では　 $\textstyle \frac{d\phi}{dt} = 0$ だから

$\textstyle \sin \phi = \frac{\omega_2 - \omega_1}{2k}$ 、つまり $\textstyle \phi = \arcsin \big(\frac{\omega_2 - \omega_1}{2k}\big)$ ( $\textstyle 0 < \frac{\omega_2 - \omega_1}{2k} \leq 1$ )

値 $\phi$ 付近の振動子の振る舞いをみる。関数 $y = -2k \sin \phi + (\omega_2 - \omega_1)$ は正のy切片を持ち $-\sin \phi$ の波形を描きながら $\phi = \pi/2$ において極小値 $(\omega_2 - \omega_1) -2k$ をとり、 $\phi = \pi$ において正の値に戻る。よって k の値によって以下の場合がある。

k が大きく極小値が負の場合：　解を2つ持つ。そのうち $0 < \phi < \pi/2$ となるほうは振動子2が振動子1の前にある状態で、安定解となる。もう片方は不安定解になる。
k が適切な値で極小値が0の場合: 解を1つ持つ。この値は不安定解になる。
k が0に近く、極小値が正の場合: 解を持たない。つまり定常状態が存在しない。

結論として、 $\textstyle \sin \phi = \frac{\omega_2 - \omega_1}{2k_c} = 1$ を満たす臨界値 $k_c$ が存在し、この値より k が大きい場合は安定解 $\phi^*$ が存在する。それと等しいか、小さい場合は安定解が存在せず、二つの振動子が同期することはない。