Aritalab:Lecture/JSBi/Test/Math

確率

平均

期待値とは、確率変数の取る値とその確率とをかけた総和である。フェアなサイコロのように全ての目が糖確率で出る場合は、目の数の期待値は（算術）平均に等しくなる。二つの確率変数X,Yがあったとき、和の平均は平均の和に等しい。

$E[X+Y]=E[X]+E[Y]$

X,Yが独立のときに限り、積についても分配できる。

$E[XY]=E[X]E[Y]$（ただしX,Yは独立）

分散

分散とは確率変数がとる値のばらつきの度合いである。

$V[X] = E[(X-E[X])^2] = E[X^2] - (E[X])^2$

X,Yが独立のときに限り、和の分散は分散の和に等しい。

$V[X+Y] = V[X] + V[Y]$（ただしX,Yは独立）

独立でない場合に生じる「ズレ」を共分散と呼ぶ。

$V[X+Y] = V[X] + V[Y] + 2Cov[X,Y]$

共分散・相関

共分散は二組の対応する確率変数の間で、ばらつきが異なる度合いである。 共分散の定義は

$Cov[X,Y]=E[ (X-E[X]) (Y-E[Y]) ]$

となる。 XとYに関して対称に定義されていて、XとYのばらつきの傾向が似ていれば大きな正の値になり、似ていなければ大きな負の値になる。XとYが独立であれば0になる。 共分散をXの標準偏差とYの標準偏差で割ったものが相関係数である。

$Corr[X,Y] = Cov[X,Y] /(V[X]^{1/2}V[Y]^{1/2})$

ベイズの定理

$P(B|A) = P(A|B)P(B)/P(A)$

分布

正規分布

よく見る釣鐘型の分布。どんな分布でも、その中から要素をランダムに抽出して和をとったものの分布は、正規分布に近づく（中心極限定理）。期待値が0, 分散が1になるようにスケーリングしたものを標準正規分布といい、$N(0,1)$と書く。

正規分布表

標準正規分布表の見方。

z 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 0.0 0.5000 0.4207 0.3446 0.2743 0.2119 1.0 0.1587 0.1151 0.0808 0.0548 0.0359 2.0 0.0228 0.0139 0.0082 0.0047 0.0026 3.0 0.0013 0.0007 0.0003 0.0002 0.0001

表におけるzの値は上から順に左→右方向にみる。正規分布全体の面積を1.0としたときの、 zから上側の面積を示している。例えば標準偏差が2.0以上の面積は0.0228、2.2以上の面積は0.0139。

ポアソン分布

稀にしか起こらない離散的な事象を数える際に用いる分布。 単位時間中に平均λ回発生する事象が、ぴったりk回発生する確率を

$P(N=k) = \frac{e^{-\lambda}\lambda^k}{k!}$

と定義する。