Aritalab:Lecture/NetworkBiology/Markov Chains/Genetics

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ここで
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これは 6 状態のマルコフ連鎖で、AA &times; AA と aa &times; aa が吸収状態になっています。真ん中の赤で示した 4 &times; 4 行列（ T と書きましょう）は過渡的状態で、<math>\lim T^n = 0</math> です。この行列 T に対して n 乗を計算すれば、n 世代後における遺伝型の分布を求められます。
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{\mathbf P}^2 =
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{\mathbf P}^n =
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\begin{bmatrix}
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1 && \mathbf{0} && 0 \\
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\mathbf{A}_n && \mathbf{T}^n && \mathbf{B}_n \\
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0 && \mathbf{0} && 1
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\end{bmatrix}
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ここで行列の級数 <math>\textstyle\sum^{\infty}_{n=0}T^n = (I - T)^{-1}</math> を利用すれば
  
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これは 6 状態のマルコフ連鎖で、AA &; AA と aa &times; aa が吸収状態になっています。真ん中の赤で示した 4 &times; 4 行列（ T と書きましょう）は過渡的状態で、<math>\lim T^n = 0</math> です。
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\begin{align}
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\textstyle\lim_{n\rightarrow \infty}A_n &= A(I-T)^{-1}\\
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\textstyle\lim_{n\rightarrow \infty}B_n &= B(I-T)^{-1}
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\end{align}
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</math>

Latest revision as of 10:29, 19 October 2011

[edit] Inbreeding

遺伝子の優性アレル A と劣性アレル a の交配パターンをモデルしましょう。アレルを A, a で表すと、遺伝型は AA, Aa, aa の 3 通り、交配パターンは AA × AA, AA × Aa, Aa × Aa, AA × aa, Aa × aa, aa × aa の 6 通りあります。親子のアレルパターンを行列であらわすと以下のようになります。

  • 親が AA × AA の場合、子供は必ず AA なので、子供どうしのかけ合わせも AA × AA
  • 親が AA × Aa の場合、子供は確率 1/2, 1/2 で AA, Aa なので、子供のかけ合わせは AA × AA, AA × Aa, Aa × Aa
  • 親が Aa × Aa の場合、子供は確率 1/4, 1/2, 1/4 で AA, Aa, aa なので、子供のかけ合わせは全パターンが生じる
  • 親が Aa × aa の場合、子供は確率 1/2 で Aa, aa なので、子供のかけ合わせは Aa × Aa, Aa × aa, aa × aa
  • 親が AA × aa の場合、子供は必ず Aa なので、子供どうしのかけ合わせは Aa × Aa
  • 親が aa × aa の場合、子供は必ず aa なので、子供どうしのかけ合わせも aa × aa
確率行列 P children
parents ↓ AA × AA AA × Aa Aa × Aa Aa × aa AA × aa aa × aa
AA × AA 1 0 0 0 0 0
AA × Aa 1/4 1/2 1/4 0 0 0
Aa × Aa 1/16 1/4 1/4 1/4 1/8 1/16
Aa × aa 0 0 1/4 1/2 0 1/4
AA × aa 0 0 1 0 0 0
aa × aa 0 0 0 0 0 1
= \begin{bmatrix} 1 && \mathbf{0} && 0 \\ \mathbf{A} && \mathbf{T} && \mathbf{B} \\ 0 && \mathbf{0} && 1 \end{bmatrix}

ここで {\mathbf T} = \begin{bmatrix} 1/2 && 1/4 && 0 && 0\\ 1/4 && 1/4 && 1/4 && 1/8\\ 0 && 1/4 && 1/2 && 0\\ 0 && 1 && 0 && 0 \end{bmatrix}

これは 6 状態のマルコフ連鎖で、AA × AA と aa × aa が吸収状態になっています。真ん中の赤で示した 4 × 4 行列（ T と書きましょう）は過渡的状態で、\lim T^n = 0 です。この行列 T に対して n 乗を計算すれば、n 世代後における遺伝型の分布を求められます。

{\mathbf P}^2 = \begin{bmatrix} 1 && \mathbf{0} && 0 \\ \mathbf{(I+T)A} && \mathbf{T}^2 && \mathbf{(I+T)B} \\ 0 && \mathbf{0} && 1 \end{bmatrix}

{\mathbf P}^3 = \begin{bmatrix} 1 && \mathbf{0} && 0 \\ \mathbf{(I+T + T^2)A} && \mathbf{T}^3 && \mathbf{(I+T + T^3)B} \\ 0 && \mathbf{0} && 1 \end{bmatrix}

：

{\mathbf P}^n = \begin{bmatrix} 1 && \mathbf{0} && 0 \\ \mathbf{A}_n && \mathbf{T}^n && \mathbf{B}_n \\ 0 && \mathbf{0} && 1 \end{bmatrix}

ここで行列の級数 \textstyle\sum^{\infty}_{n=0}T^n = (I - T)^{-1} を利用すれば

\begin{align} \textstyle\lim_{n\rightarrow \infty}A_n &= A(I-T)^{-1}\\ \textstyle\lim_{n\rightarrow \infty}B_n &= B(I-T)^{-1} \end{align}

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