Aritalab:Lecture/Algorithm/Fibonacci

Revision as of 11:24, 11 July 2013

フィボナッチ数列の定義

フィボナッチ数列を関数の形に書くと、以下のように定義されます。

• F(0) = 0
• F(1) = 1
• F(n+2) = F(n) + F(n+1)

一般解

F(n)=xⁿと仮定します。これがちょうど F(n+2)=F(n+1)+F(n) を満たすことに注意します。

xⁿ⁺²=xⁿ⁺¹+xⁿ

両辺を xⁿ で割ります。

x²=x+1

この二次方程式の解をα, βとします。

α = (1 + √5)/2,   β = (1 - √5)/2

αは黄金比とも呼ばれ、名刺の縦横比に対応します。

二つの解はいずれも漸化式を満たし、これらの線形和

C₁*αⁿ + C₂*βⁿ

もちょうど漸化式を満たします。（試しに計算してみてください。） ここで初期条件を満たすように、C₁, C₂を定めましょう。

C₁α+C₂β=1,

C₁α²+C₂β²=1

を解くと

C₁=1/(α-β)=1/√5,   C₂=-1/(α-β)=-1/√5

すなわち一般項は

F(n) = (1/√5)(αⁿ - βⁿ)

と書けます。

アルゴリズム

定義そのままのアルゴリズム

int Fibonacci(int n) {
  if (n == 0) return 0;
  if (n == 1) return 1;
  int a = Fibonacci(n-1);
  int b = Fibonacci(n-2);
  return (a+b);
}

このアルゴリズムは、Fibonacci(n)関数の実行時間をT(n)と書くと

T(n) = T(n-1)+T(n-2)+ C

を満たしています。ここでcは定数とします。

T(n-1) + T(n-2) + C > 2 T(n-2) + C

ですから、ハノイの塔の解法から

T(n) > C * (2ⁿ-1)/2

であることがわかります。つまり求めたいフィボナッチ数 n に対し、指数時間かかるアルゴリズムになります。 これでは Fibonacci(30) を求めることすらできないでしょう。

記憶領域を用いたアルゴリズム

int Fibonacci(int n) {
  int[] mem = new int[n+1];
  mem[0] = 0;
  mem[1] = 1;
  for(int i=2; i < n+1; i++)
    mem[i] = mem[i-1] + mem[i-2];
  return memory[n];
}

サイズnの記憶領域(memory)を用意するだけで、実行には n に比例する時間しか要しません。 これを線形時間アルゴリズムといいます。 上のプログラムは、n に比例するサイズの記憶領域を取っていますが、次のプログラムは Fibonacci(n) の直前2個分しか必要ありません。 （こちらは入力を n とすると n+1 番目のフィボナッチ数を返します。）

 int Fibonacci(int n) {
   int num1 = 1, num2 = 1, tmp = 1;
   for(int i = 1; i < n; i++) {
     tmp = num1 + num2;
     num1 = num2;
     num2 = tmp;
   }
   return tmp;
 }

実行例
> Fibonacci(30)
> 1346269  (F_{31} に相当)
> Fibonacci(31)
> 2178309

もっと速いアルゴリズム

非常に大きな n 、たとえば1兆番目に対して、Fibonacci(n) を求められるでしょうか。 フィボナッチ数の一般形を知っていれば、理論的には可能です。 α = (1 + √5)/2 とすると

F(n) = (1/√5)(αⁿ - (-α)^-n)

でもあります。 これを知っていたら、 αⁿ を求めればよいことがわかります。しかも (-α)^-n の項は 0 に近づくので計算が不要です。

 double Fibonacci(int n) {
    double a = (1 + Math.sqrt(5)) / 2;
    for (int i =0; i < n; i++)
      a = a * a;
    a = a / Math.sqrt(5);
    return a;
 }

計算例
Fibonacci(5)
> 2178309.0000000913
Fibonacci(6)
> 1.0610209857722998E13

このプログラムでは、2ⁿ - 1 番目のフィボナッチ数を高速に計算します。結果として O(log n) ステップで計算可能になります。 これをサブリニア時間 （線形時間より少ない時間しか要しない） アルゴリズムといいます。

ただし、浮動小数点計算を必要とするので、計算機で処理する際には薦められません。