Aritalab:Lecture/NetworkBiology/Coupled Oscillator
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全ての振動子が同数だけ ( ''K'' とします) 結合するグラフの場合、<math>N \rightarrow \infty</math> の極限において解くことができます(蔵本モデル)。 | 全ての振動子が同数だけ ( ''K'' とします) 結合するグラフの場合、<math>N \rightarrow \infty</math> の極限において解くことができます(蔵本モデル)。 | ||
− | + | 基本的なアイデアとして、集団としての振幅と位相をそれぞれ ''R'' (定数), ''ψ'' とおいて平均化した近似を考えます(''R'' = 定数)。 | |
− | 基本的なアイデアとして、集団としての振幅と位相をそれぞれ ''R'' (定数), ''ψ'' | + | |
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− | + | \frac{1}{N}\sum^N_{j=1} \exp( i\theta_j ) = R e^{i\psi} = R (\cos \psi + i \sin \psi) | |
− | </math> | + | </math><ref>指数が虚数である指数関数の定義は <math>e^{ix} = \cos x + i \sin x</math> である。</ref> |
− | + | このとき、振動子集団は見かけ上 | |
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− | \frac{d\theta_i}{dt} = \omega_i - RK\sin(\theta_i - \psi) | + | \frac{d\theta_i}{dt} = |
+ | \omega_i - RK\sin(\theta_i - \psi) | ||
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と簡略化でき、定常状態では <math>\textstyle \theta_i = \psi + \arcsin(\frac{\omega_i}{RK})</math>です。 | と簡略化でき、定常状態では <math>\textstyle \theta_i = \psi + \arcsin(\frac{\omega_i}{RK})</math>です。 |
Revision as of 06:10, 14 July 2011
結合振動子
自然振動にばらつきのある素子が相互作用する系を考えましょう。 この分野で最も重要な貢献をした統計物理学者が 蔵本由紀 です。 同期のしやすさはネットワークの形状によりますが、ここでは最も簡単な場合として2個の振動子を考えます。
2つの振動子
振動子の振る舞いは以下の式で記述されます。
は i に固有の周波数です。また の部分は振動子どうしの引き込み項に対応し、位相の大きさによって周波数に影響を与えます。 周波数の差分 が のとき(つまり振動子2が1より前にいるとき)は振動子1が加速して振動子2が減速し、逆に差分が のときは振動子1が減速して振動子2が加速します。
k (>0) が十分に大きければ振動子は同期、つまり共通の振動数をとって が安定します。
もし であれば k = 0 でも同期するため、一般性を失わずに と仮定して、上式の差分を考えましょう。
定常状態では だから
- 、つまり ()
値 付近の振動子の振る舞いをみましょう。
関数 は正のy切片を持ち の波形を描きながら において極小値 をとり、において正の値に戻ります。よって k の値によって以下の場合があります。
- k が大きく極小値が負の場合: 解を2つ持つ。そのうち となるほうは振動子2が振動子1の前にある状態で、安定解となる。もう片方は不安定解になる。
- k が適切な値で極小値が0の場合: 解を1つ持つ。この値は不安定解になる。
- k が0に近く、極小値が正の場合: 解を持たない。つまり定常状態が存在しない。
結論として、 を満たす臨界値 が存在し、この値より k が大きい場合は安定解 が存在します。 それと等しいか、小さい場合は安定解が存在せず、二つの振動子が同期することはありません。
N個の振動子
振動子が N 個の場合は
結合する振動子どうしは それ以外は 0 とします。 全ての振動子が同数だけ ( K とします) 結合するグラフの場合、 の極限において解くことができます(蔵本モデル)。
基本的なアイデアとして、集団としての振幅と位相をそれぞれ R (定数), ψ とおいて平均化した近似を考えます(R = 定数)。
このとき、振動子集団は見かけ上
と簡略化でき、定常状態では です。
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