Aritalab:Lecture/NetworkBiology/Contact Process

Revision as of 00:12, 10 June 2010

コンタクトプロセス

感染症モデルでネットワーク構造を考慮したものをコンタクトプロセスと呼ぶ。それぞれの状態の割合を

S susceptible (健康状態)

I infected (感染状態)

R recovered (治癒状態）

と書く。 $S \xrightarrow{\lambda}I \xrightarrow{\mu} S$ の場合をSISモデルと呼び、 $S \xrightarrow{\lambda} I \xrightarrow{\delta} R$ の場合をSIRモデルと呼ぶ。

SIS model

$S(t) + I(t) = 1$

ネットワークを考慮しない場合

時間 $\delta t$ の間に感染者は $\mu$ の確率で治癒し、健康人が $\lambda I(t)$ の確率で感染するとする。

$\begin{align} \frac{d I(t)}{dt} &= \lambda S(t) I(t) - \mu I(t)\\ \frac{d S(t)}{dt} &= -\lambda I(t)S(t) + \mu I(t) \end{align}$

十分時間が経過した後の定常状態を考えると $\textstyle \lambda S(t) I(t) - \mu I(t) = 0$ を式変形して

$\frac{\lambda}{\mu} = \frac{1}{S(t= \infty)}$

つまり感染率 $\lambda$ が治癒率 $\mu$ を超える場合は健康人の割合が減少し（病人が必ず残る）、感染率のほうが小さい場合は $S(t= \infty) < 1$ のために病人はゼロになる。

また $\lambda$ と $\mu$ は定数倍すれば片方を消せるので、今後は一般性を失わずに $\mu=1$ とおく。

一般のネットワークの場合

次数分布のみを考慮することにし、前出の式を次数kに限定して考える。

$\frac{d I_k(t)}{dt} = \lambda (1-I_k(t)) k\Theta(t) - I_k(t)$

ここで $\Theta(t)$ は、次数kの健康人が接続する先（1本あたり）が感染者である期待値を示す。定常状態のとき、 $d I_k(\infty) / dt =0$ であるから

$I_k(t = \infty) = \frac{\lambda k \Theta(\infty)}{1 + \lambda k \Theta(\infty)}$

$\Theta(t)$ は、次数kの頂点から出る辺が接続する先が感染者である確率を示していた。辺が接続する先の頂点の次数分布は $k p(k)/\langle k \rangle$ であるから

$\textstyle \begin{align} \Theta(\infty) &= \frac{1}{\langle k \rangle} \sum_{k'} k' p(k') I_k (\infty) \\ &= \frac{1}{\langle k \rangle} \sum_{k'} k' p(k') \frac{\lambda k' \Theta(\infty)}{1 + \lambda k' \Theta(\infty)} \end{align}$

これを $\Theta$ について閉じた式にできれば感染率 $\lambda$ に対する感染者の期待値を解析的に求められるが、それは容易ではない。ここで求めたいのは臨界値を与える $\lambda$ だと考えて、右辺と左辺の関係を考える。

$\begin{cases} y = \Theta\\ y = C \sum kp(k)\frac{\lambda k \Theta}{1 + \lambda k \Theta} \end{cases}$

という連立方程式の解 $\Theta$ を考えよう。下の曲線は $0 \leq \Theta \leq 1$ で定義され、 $\theta = 0$ が解の一つである。また $\Theta=1$ のときに $y < 1$ となり単調増加でもある。

$\frac{d y}{d \Theta} = C \sum kp(k)\frac{\lambda k}{(1 + \lambda k \Theta)^2} > 0$

よって連立方程式が $\theta = 0$ 以外にも解を持つかどうかの分岐点は

$\frac{d y}{d \Theta} \Bigg|_{\Theta=0} = \frac{1}{\langle k \rangle} \sum_k kp(k)\lambda_c k = \frac{\langle k^2 \rangle}{\langle k \rangle}\lambda_c = 1$

ここから、臨界確率 $\lambda_c = \frac{\langle k \rangle}{\langle k^2 \rangle}$ となる。

@@ Line 2: / Line 2: @@
 感染症モデルでネットワーク構造を考慮したものをコンタクトプロセスと呼ぶ。
+それぞれの状態の割合を
+:S susceptible (健康状態)
+:I infected (感染状態)
+:R recovered (治癒状態）
+と書く。<math>S \xrightarrow{\lambda}I \xrightarrow{\mu} S</math>の場合をSISモデルと呼び、<math>S \xrightarrow{\lambda} I \xrightarrow{\delta} R</math>の場合をSIRモデルと呼ぶ。
 ===SIS model===
-ここでは時間''t''における健康状態(susceptible)の頂点の割合を''S(t)''、感染状態(infected)の頂点の割合を''I(t)''であらわす。全体の頂点数を''N''とする。
 <math>S(t) + I(t) = 1</math>
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 辺が接続する先の頂点の次数分布は<math>k p(k)/\langle k \rangle</math>であるから
-<math>
+<math>\textstyle
 \begin{align}
 \Theta(\infty) &= \frac{1}{\langle k \rangle} \sum_{k'} k' p(k') I_k (\infty) \\
-&= \frac{1}{\langle k \rangle} \sum_k' k' p(k') \frac{\lambda k' \Theta(\infty)}{1 + \lambda k' \Theta(\infty)}
+&= \frac{1}{\langle k \rangle} \sum_{k'} k' p(k') \frac{\lambda k' \Theta(\infty)}{1 + \lambda k' \Theta(\infty)}
 \end{align}
 </math>
-この式を<math>\Theta</math>について閉じた式にできれば感染率<math>\lambda</math>に対する感染者の期待値を求められるが、それは容易ではない。ここで求めたいのは臨界値を与える<math>\lambda</math>だと考えて、右辺と左辺の関係を考える。
+これを<math>\Theta</math>について閉じた式にできれば感染率<math>\lambda</math>に対する感染者の期待値を解析的に求められるが、それは容易ではない。ここで求めたいのは臨界値を与える<math>\lambda</math>だと考えて、右辺と左辺の関係を考える。
 <math>
@@ Line 62: / Line 64: @@
 </math>
-という連立方程式の解<math>\Theta</math>を考えよう。下の曲線は<math>0 \leq \Theta \leq 1</math>で定義され、<math>\theta = 0</math>が解の一つである。また<math>\Theta=1</math>のときに<math>y < 1</math>となり、
+という連立方程式の解<math>\Theta</math>を考えよう。下の曲線は<math>0 \leq \Theta \leq 1</math>で定義され、<math>\theta = 0</math>が解の一つである。また<math>\Theta=1</math>のときに<math>y < 1</math>となり単調増加でもある。
 <math>
@@ Line 68: / Line 70: @@
 </math>
-でもある。よって連立方程式が<math>\theta = 0</math>以外にも解を持つかどうかの分岐点は
+よって連立方程式が<math>\theta = 0</math>以外にも解を持つかどうかの分岐点は
 <math>

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Revision as of 00:12, 10 June 2010

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コンタクトプロセス

SIS model

ネットワークを考慮しない場合

一般のネットワークの場合

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