Aritalab:Lecture/NetworkBiology/Zipf
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− | + | 期待値を計算するのに <math>(1-x)^2 = z</math> と変数変換します。 | |
微分すると <math>dz/dx = 2(x-1)</math> です。 | 微分すると <math>dz/dx = 2(x-1)</math> です。 | ||
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− | \int^1_0 x g_r(x) dx &= | + | <g_r(x)> &= \int^1_0 x g_r(x) dx\\ |
− | \frac{n!}{(n-r)!(r-1)!} \int^0_1 (1-z^{1/2}) z^{r-1}(1-z)^{n-r} \cdot 2(1-x) dz (dx/dz) \\ | + | &= \frac{n!}{(n-r)!(r-1)!} \int^0_1 (1-z^{1/2}) z^{r-1}(1-z)^{n-r} \cdot 2(1-x) dz (dx/dz) \\ |
&= \frac{n!}{(n-r)!(r-1)!} \int^1_0 (1-z^{1/2}) z^{r-1}(1-z)^{n-r} dz \\ | &= \frac{n!}{(n-r)!(r-1)!} \int^1_0 (1-z^{1/2}) z^{r-1}(1-z)^{n-r} dz \\ | ||
&= \frac{n!}{(n-r)!(r-1)!}\big[ \int^1_0 z^{r-1}(1-z)^{n-r} dz - \int^1_0 z^{r-1/2}(1-z)^{n-r} dz\big] \\ | &= \frac{n!}{(n-r)!(r-1)!}\big[ \int^1_0 z^{r-1}(1-z)^{n-r} dz - \int^1_0 z^{r-1/2}(1-z)^{n-r} dz\big] \\ | ||
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&= \frac{n!}{(n-r)!(r-1)!}\big[ \frac{(r-1)!(n-r)!}{n!} - \frac{\Gamma(r+\frac{1}{2})}{\Gamma(n+\frac{3}{2})} (n-r)! \big] \\ | &= \frac{n!}{(n-r)!(r-1)!}\big[ \frac{(r-1)!(n-r)!}{n!} - \frac{\Gamma(r+\frac{1}{2})}{\Gamma(n+\frac{3}{2})} (n-r)! \big] \\ | ||
&= 1 - \frac{n!}{(r-1)!}\frac{\Gamma(r+\frac{1}{2})}{\Gamma(n+\frac{3}{2})} | &= 1 - \frac{n!}{(r-1)!}\frac{\Gamma(r+\frac{1}{2})}{\Gamma(n+\frac{3}{2})} | ||
+ | \end{align} | ||
+ | </math> | ||
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+ | 一番長い区間の期待値 | ||
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+ | \begin{align} | ||
+ | <g_1(x)> &= 1 - n! \cdot \frac{\Gamma(3/2)}{\Gamma((n+1)+ 1/2)} \\ | ||
+ | &= 1 - \frac{ 2^{2n+1} n! (n+1)!}{(2n + 2)!}\\ | ||
+ | \end{align} | ||
+ | </math> | ||
+ | 一番短い区間の期待値 | ||
+ | :<math> | ||
+ | \begin{align} | ||
+ | <g_n(x)> &= 1 - n \cdot \frac{\Gamma(n+\frac{1}{2})}{\Gamma(n+\frac{3}{2})}\\ | ||
+ | &= 1 - \frac{2n}{2n+1} | ||
\end{align} | \end{align} | ||
</math> | </math> |
Revision as of 05:03, 21 July 2011
Contents |
Zipf の法則とランク・サイズ則
都市毎の人口や会社の規模、個人の所得を大きさの順に並べて順位 r をつけ、その大きさを とおくと
の形になります(α の値は小さい)。一般には Zipf の法則として知られる関係は、Rank-Size Rule とも呼ばれます。
ランダムな区画取り
ランダムに 2 点をとったとき、 2 点間の距離の分布
線分 [0,1] 上にランダムにとる点を とします。一般性を失わずに とします。 から距離 x と x + dx の間に 2 点目を取る確率を計算します。
- 0 または 1 から幅 x 以内に をとるとき
確率 2 x で から x 離れた地点は片側にしかとることができません。2 番目の点が x と x + dx の間に落ちる確率は です。
- 残りの範囲に をとるとき
確率 1 - 2 x で から x 離れた地点を両側にとることができます。2 番目の点が x と x + dx の間に落ちる確率は となります。
結局、2 点間の距離の確率は で与えられます。平均値は 1/3 になります。
ランダムに 2 点をとる作業を n 回繰り返したとき、r 番目の距離の分布
ランダムにとった区間長が より長い確率 p 、短い確率 q はそれぞれ
となります。n 回繰り返したときに、r 番目の区間長が である期待値 は 個が より短く、 個が より長い区間を得ることに相当します。
期待値を計算するのに と変数変換します。 微分すると です。
一番長い区間の期待値
一番短い区間の期待値