Aritalab:Lecture/NetworkBiology/Coupled Oscillator

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<math>\omega_i/2\pi</math> は ''i''　に固有の周波数です。また <math>\,k \sin(\theta_2 - \theta_1)</math> の部分は振動子どうしの引き込み項に対応し、位相の大きさによって周波数に影響を与えます。''k'' が相互作用の強さです。
 
周波数の差分 <math>\phi = \theta_2 - \theta_1</math> が <math> 0 < \phi < \pi</math> のとき（つまり振動子2が1より前にいるとき）は振動子1が加速して振動子2が減速し、逆に差分が <math> \pi < \phi < 2\pi</math> のときは振動子1が減速して振動子2が加速します。
 
周波数の差分 <math>\phi = \theta_2 - \theta_1</math> が <math> 0 < \phi < \pi</math> のとき（つまり振動子2が1より前にいるとき）は振動子1が加速して振動子2が減速し、逆に差分が <math> \pi < \phi < 2\pi</math> のときは振動子1が減速して振動子2が加速します。
  
  
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''k'' (>0) が十分に大きければ振動子は同期、つまり共通の振動数をとって <math>\phi</math> が安定します。
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相互作用のパラメータ ''k'' (>0) が十分に大きければ振動子は同期、つまり共通の振動数をとって <math>\phi</math> が安定します。
 
もし <math> \omega_1 = \omega_2</math> であれば ''k'' = 0 でも同期するため、一般性を失わずに <math> \omega_1 < \omega_2</math> と仮定して、上式の差分を考えましょう。
 
もし <math> \omega_1 = \omega_2</math> であれば ''k'' = 0 でも同期するため、一般性を失わずに <math> \omega_1 < \omega_2</math> と仮定して、上式の差分を考えましょう。
 
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値 <math>\phi</math> 付近の振動子の振る舞いをみましょう。
 
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関数<math>\,y = -2k \sin \phi + (\omega_2 - \omega_1)</math> は正のy切片を持ち <math>-\sin \phi</math>の波形を描きながら <math>\phi = \pi/2</math> において極小値 <math>(\omega_2 - \omega_1) -2k</math>をとり、<math>\phi = \pi</math>において正の値に戻ります。よって ''k'' の値によって以下の場合があります。
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関数<math>y = -2k </math> <math> \sin \phi + (\omega_2 - \omega_1)</math> は正の y 切片を持ち <math>-\sin \phi</math> の波形を描きながら <math>\phi = \pi/2</math> において極小値 <math>(\omega_2 - \omega_1) -2k</math>をとり、<math>\phi = \pi</math>において正の値に戻ります。よって ''k'' の値によって以下の場合があります。
  
 
* ''k'' が大きく極小値が負の場合：　解を2つ持つ。そのうち <math>0 < \phi < \pi/2</math> となるほうは振動子2が振動子1の前にある状態で、安定解となる。もう片方は不安定解になる。
 
* ''k'' が大きく極小値が負の場合：　解を2つ持つ。そのうち <math>0 < \phi < \pi/2</math> となるほうは振動子2が振動子1の前にある状態で、安定解となる。もう片方は不安定解になる。
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全ての振動子が同数だけ ( ''K'' とします) 結合するグラフの場合、<math>N \rightarrow \infty</math> の極限において解くことができます（蔵本モデル）。
 
全ての振動子が同数だけ ( ''K'' とします) 結合するグラフの場合、<math>N \rightarrow \infty</math> の極限において解くことができます（蔵本モデル）。
  
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基本的なアイデアとして、集団としての振幅と位相をそれぞれ ''R'' (定数), ''&psi;'' とおいて平均化した近似を考えます(''R'' = 定数)。
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基本的なアイデアとして、集団としての振幅と位相をそれぞれ ''R'' (定数), ''&psi;'' とおいて平均化した近似を考えます(''R'' = 定数)。N 個の振動子を円周上を回る点と考えた際の重心にあたる値です。
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\frac{1}{N}\sum^N_{j=1} \exp( i\theta_j ) = R e^{i\psi} = R (\cos \psi + i \sin \psi)
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</math><ref>指数が虚数である指数関数の定義は <math>e^{ix} = \cos x + i \sin x</math> である。</ref>
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と簡略化でき、定常状態では <math>\textstyle \theta_i = \psi + \arcsin(\frac{\omega_i}{RK})</math>です。
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と簡略化でき、定常状態では <math>\textstyle \theta_i = \psi + \arcsin(\frac{\omega_i}{RK})</math>です。R の大きさによって同期するか否かが判断できます。
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* ''R'' = 1: 振動子全体が完全に同期している
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* ''R'' = 0: 振動子が完全にランダム
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===ネットワーク上の振動子===
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ネットワーク上に振動子がある場合、基本的には数値シミュレーションによって解析が行われています。
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主な成果に以下があります。
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* L が大きく、局所的なつながりしかないネットワークは同期しにくい
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* ハブがあると同期しやすい
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;参考
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Latest revision as of 09:56, 14 July 2011

Contents

[edit] 結合振動子

自然振動にばらつきのある素子が相互作用する系を考えましょう。 この分野で最も重要な貢献をした統計物理学者が 蔵本由紀 です。 同期のしやすさはネットワークの形状によりますが、ここでは最も簡単な場合として2個の振動子を考えます。

[edit] 2つの振動子

振動子の振る舞いは以下の式で記述されます。

\begin{align} \textstyle \frac{d\theta_1}{dt} &= \omega_1 + k \sin(\theta_2 - \theta_1) \\ \textstyle \frac{d\theta_2}{dt} &= \omega_2 - k \sin(\theta_2 - \theta_1) \end{align}

\omega_i/2\pi は i　に固有の周波数です。また \,k \sin(\theta_2 - \theta_1) の部分は振動子どうしの引き込み項に対応し、位相の大きさによって周波数に影響を与えます。k が相互作用の強さです。 周波数の差分 \phi = \theta_2 - \theta_1 が 0 < \phi < \pi のとき（つまり振動子2が1より前にいるとき）は振動子1が加速して振動子2が減速し、逆に差分が \pi < \phi < 2\pi のときは振動子1が減速して振動子2が加速します。


相互作用のパラメータ k (>0) が十分に大きければ振動子は同期、つまり共通の振動数をとって \phi が安定します。 もし \omega_1 = \omega_2 であれば k = 0 でも同期するため、一般性を失わずに \omega_1 < \omega_2 と仮定して、上式の差分を考えましょう。

\textstyle \frac{d\phi}{dt} = \omega_2 - \omega_1 - 2 k \sin \phi

定常状態では　\textstyle \frac{d\phi}{dt} = 0 だから

\textstyle \sin \phi = \frac{\omega_2 - \omega_1}{2k} 、つまり \textstyle \phi = \arcsin \big(\frac{\omega_2 - \omega_1}{2k}\big) (\textstyle 0 < \frac{\omega_2 - \omega_1}{2k} \leq 1)


値 \phi 付近の振動子の振る舞いをみましょう。 関数y = -2k \sin \phi + (\omega_2 - \omega_1) は正の y 切片を持ち -\sin \phi の波形を描きながら \phi = \pi/2 において極小値 (\omega_2 - \omega_1) -2kをとり、\phi = \piにおいて正の値に戻ります。よって k の値によって以下の場合があります。

  • k が大きく極小値が負の場合：　解を2つ持つ。そのうち 0 < \phi < \pi/2 となるほうは振動子2が振動子1の前にある状態で、安定解となる。もう片方は不安定解になる。
  • k が適切な値で極小値が0の場合: 解を1つ持つ。この値は不安定解になる。
  • k が0に近く、極小値が正の場合: 解を持たない。つまり定常状態が存在しない。

結論として、\textstyle \sin \phi = \frac{\omega_2 - \omega_1}{2k_c} = 1 を満たす臨界値 k_c が存在し、この値より k が大きい場合は安定解 \phi^* が存在します。 それと等しいか、小さい場合は安定解が存在せず、二つの振動子が同期することはありません。

[edit] N個の振動子

振動子が N 個の場合は

\textstyle \frac{d\theta_i}{dt} = \omega_i + \frac{1}{N}\sum^N_{j=1}k_{ij}\sin(\theta_j - \theta_i)

結合する振動子どうしは k_{ij} = 1 それ以外は 0 とします。 全ての振動子が同数だけ ( K とします) 結合するグラフの場合、N \rightarrow \infty の極限において解くことができます（蔵本モデル）。

基本的なアイデアとして、集団としての振幅と位相をそれぞれ R (定数), ψ とおいて平均化した近似を考えます(R = 定数)。N 個の振動子を円周上を回る点と考えた際の重心にあたる値です。

\textstyle \frac{1}{N}\sum^N_{j=1} \exp( i\theta_j ) [1]

このとき、振動子集団は見かけ上

\textstyle \frac{d\theta_i}{dt} = \omega_i - RK\sin(\theta_i - \psi)

と簡略化でき、定常状態では \textstyle \theta_i = \psi + \arcsin(\frac{\omega_i}{RK})です。R の大きさによって同期するか否かが判断できます。

  • R = 1: 振動子全体が完全に同期している
  • R = 0: 振動子が完全にランダム


[edit] ネットワーク上の振動子

ネットワーク上に振動子がある場合、基本的には数値シミュレーションによって解析が行われています。 主な成果に以下があります。

  • L が大きく、局所的なつながりしかないネットワークは同期しにくい
  • ハブがあると同期しやすい


参考
  1. ↑ 指数が虚数である指数関数の定義は \,e^{ix} = \cos x + i \sin x である。
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