Aritalab:Lecture/NetworkBiology/BirthDeath/Continuous
m (→定常分布の一意性) |
m (→λ と μ が定数の場合) |
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===λ と μ が定数の場合=== | ===λ と μ が定数の場合=== | ||
全ての状態において λ, μ が固定値の場合、定常分布は | 全ての状態において λ, μ が固定値の場合、定常分布は | ||
− | :<math>\pi_i = \Big( 1 - \frac{\lambda}{\mu} \Big)\Big( \frac{\lambda}{\mu} \Big)^i</math> | + | :<math>\pi_i = \Big( 1 - \frac{\lambda}{\mu} \Big)\Big( \frac{\lambda}{\mu} \Big)^i \ \ (i \geq 0)</math> |
となります。定常分布の平均値が平均人口にあたります。 | となります。定常分布の平均値が平均人口にあたります。 | ||
:<math>C = \frac{\lambda/\mu}{1 - \lambda/\mu} = \frac{\lambda}{\mu - \lambda}</math> | :<math>C = \frac{\lambda/\mu}{1 - \lambda/\mu} = \frac{\lambda}{\mu - \lambda}</math> |
Revision as of 11:40, 2 February 2012
Contents |
出生死亡過程の一般形
確率過程における状態変化を ΔX(t) で表します。つまり
- ΔX(t) = X (t + Δt) - X (t)
一般的な記法では X (t) = i のとき、出生率と死亡率はそれぞれ
- λi (出生), μi (死亡)
で表します。非常に短い時間 Δt の間には、人数 i は一人生まれて i + 1 になるか、一人死んで i − 1 になるはずです。これを数式で書くと増減分を j で表して
と書けます。この式を用いると、時刻 t から t + Δt の間に人口が i から j まで変化する確率は
と展開できます。
j = 0 のとき人口はマイナスにならないため j − 1 という状態は考えません。また μ0 = 0 ですから
と簡略化されます。
j = N という人口の最大値が存在する場合、j + 1 という状態は考えません。また λN = 0 ですから
となります。
コルモゴロフの微分方程式
Eq.1 - 3 から を引いて Δ t で割りましょう。
この関係は という行列表記に書けます。p は各状態における存在確率です。
この過程は、状態 0, 1, 2, ... N の間を動き、λ0 > 0 、μN > 0 なら状態 0, N が反射壁のランダムウォークとみなせます。人口が増える確率は 、減る確率は です。遷移行列 T は以下になります。
定常分布
生成行列がQで表される連続時間マルコフ連鎖の定常分布 π は
で表されます。
定常分布の一意性
Eq.1 で遷移が定義される連続時間出生死亡過程は、状態数が無限のとき、以下の条件で定常状態 π が一つに定まります。
このとき定常分布は
証明
定常分布が満たす式 π Q = 0 を直接解けばよい。
- から
が導かれる。更に、
これを繰り返せば数学的帰納法によって
状態数が無限大の場合は
ただし
の成立が必要で、これは出生率が死亡率よりも少ないことを意味します。
λ と μ が定数の場合
全ての状態において λ, μ が固定値の場合、定常分布は
となります。定常分布の平均値が平均人口にあたります。
人口の増加率 (λ) で平均人口を割れば平均寿命になります。
様々な出生死亡過程
死亡率 μ が 0 の場合を純出生過程と呼びます。 出生率 λ が 0 の場合を純死亡過程と呼びます。 様々な場合に対して考えてみます。
ポアソン過程 λi =λ, μ = 0
人数に関係なく出生数 λ が一定の場合を考えます。(それぞれの個体はだんだん子供を産まなくなる。)
コルモゴロフの微分方程式は
X(0) = 0 とします。時刻 0 で状態 0 の確率が 1 なので。これを解いて
ここから順次計算して
すなわちポアソン分布になります。ポアソン分布の平均と分散は以下になります。
Yule過程: λi = iλ, μ = 0
出生数が人口に比例する場合を考えます。 最初は 1 からスタートし X(0) = 1 とします。
コルモゴロフの微分方程式は
ここから順次計算して
すなわち幾何分布になります。平均と分散は
平均と分散は指数的に増大します。幾何分布になるのは初期値 X(0) = 1 としているためで、これを N に一般化すると負の二項分布になります。
純死亡過程: λ = 0, μi = i μ
死亡数が人口に比例する場合を考えます。 最初は N からスタートし X(0) = N とします。
コルモゴロフの微分方程式は
これを解くと二項分布になります。
平均と分散は以下になります。
平均と分散はともに指数的に減少します。
出生死亡過程: λi = i λ, μi = i μ
コルモゴロフの微分方程式は
計算は大変そうですがこれを解くと
無限時間過ぎた後を考えると
平均と分散は以下になります。
- のとき
- のとき
移入のある過程: λi = i λ + ν, μi = i μ
コルモゴロフの微分方程式は
これも頑張ると解けて平均が以下になります。
つまり であれば指数的に増加し、等しい時は線形に増加します。しかし の場合は最終的に に落ち込みます。