Aritalab:Lecture/Basic/Probability Generating Function

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EX &= \Sigma_{k=0}^{\infty}k\mbox{Pr}(X=k) \\
+
E(X) &= \Sigma_{k=0}^{\infty}k\mbox{Pr}(X=k) \\
 
&= \Sigma_{k=0}^{\infty}\mbox{Pr}(X=k) \cdot kz^{k-1} \bigg|_{x=1} \\
 
&= \Sigma_{k=0}^{\infty}\mbox{Pr}(X=k) \cdot kz^{k-1} \bigg|_{x=1} \\
 
&= G_X'(1)
 
&= G_X'(1)
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VX = G_X''(1) + G_X'(1) - G_X'(1)^2
+
V(X) = G_X''(1) + G_X'(1) - G_X'(1)^2
 
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==一様分布==
 
==一様分布==
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\mbox{Pr}(X=k) = e^{\lambda}\frac{\lambda^k}{k!}
+
\mbox{Pr}(X=k) = e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!}
 
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−
G(z) &= \Sigma_{k=0}^{\infty} e^{\lambda}\frac{\lambda^k}{k!} z^k  
+
G(z) &= \Sigma_{k=0}^{\infty} e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!} z^k  
−
= e^{\lambda}\Sigma_{k=0}^{\infty}\frac{(\lambda z)^k}{k!}
+
= e^{-\lambda}\Sigma_{k=0}^{\infty}\frac{(\lambda z)^k}{k!}
−
= e^{\lambda} e^{\lambda z}　\\
+
= e^{-\lambda} e^{\lambda z}　\\
 
&= e^{\lambda (z-1)}
 
&= e^{\lambda (z-1)}
 
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Revision as of 15:27, 5 June 2010

Contents

確率母関数

ある確率分布Pr(X=k)の確率母関数(probability generating function または pgf)を以下のように定義する。

\textstyle G_X(z) = \Sigma_{k=0}^{\infty}\mbox{Pr}(X=k)z^k

確率\mbox{Pr}(X=k)は全て正の値でkについて全て足しあわせると1になる。

\textstyle G_X(1) = \Sigma_{k=0}^{\infty}\mbox{Pr}(X=k)z^k = \Sigma_{k=0}^{\infty}\mbox{Pr}(X=k) = 1

逆に係数が非負でG(1) = 1であるようなべき級数G(z)があれば、それは何らかの確率母関数である。

平均と分散

確率母関数を使うと平均と分散の計算が容易にできる。

\textstyle \begin{align} E(X) &= \Sigma_{k=0}^{\infty}k\mbox{Pr}(X=k) \\ &= \Sigma_{k=0}^{\infty}\mbox{Pr}(X=k) \cdot kz^{k-1} \bigg|_{x=1} \\ &= G_X'(1) \end{align}

\textstyle \begin{align} E(X^2) &= \Sigma_{k=0}^{\infty}k^2\mbox{Pr}(X=k) \\ &= \Sigma_{k=0}^{\infty}\mbox{Pr}(X=k) \cdot \big( k(k-1) z^{k-2} + kz^{k-1} \big) \bigg|_{x=1} \\ &= G_X''(1) + G_X'(1) \end{align}

したがって

\textstyle V(X) = G_X''(1) + G_X'(1) - G_X'(1)^2

一様分布

n次の一様分布(uniform distribution)とは確率変数が{0, 1, \ldots, n-1}の値を確率1/nでとるもの。

\textstyle \mbox{Pr}(X=k) = 1/n

確率母関数は以下の等比級数になる。 \textstyle \mbox{U}_n(z) = \frac{1}{n}(1 + z + \cdots + z^{n-1}) = \frac{1}{n}\frac{1-z^n}{1-z}

この式は1-zを分母に含んでしまうため、\mbox{U}_n'(1)や\mbox{U}_n''(1)を求める際に不都合である。そこでテイラーの定理を応用する。

G(1+t) = G(1) + \frac{G'(1)}{1!} t + \frac{G''(1)}{2!} t^2 + \frac{G'''(1)}{3!} t^3 + \cdots

この係数、つまりG(z)の導関数を以下の式と見比べればよい。

\begin{align} \mbox{U}_n(1+t) &= \frac{1}{n}\frac{(1+t)^n - 1}{t} \\ &= \frac{1}{n}\binom{n}{1} + \frac{1}{n}\binom{n}{2} t + \frac{1}{n}\binom{n}{3} t^2 + \cdots + \frac{1}{n}\binom{n}{t} t^{n-1} \end{align}

ここから

\textstyle \mbox{U}_n(1) = 1 \quad \mbox{U}_n'(1) = \frac{n-1}{2} \quad \mbox{U}_n''(1) = \frac{(n-1)(n-2)}{3} \quad

平均と分散は

\textstyle \mbox{U}_n'(1) = \frac{n-1}{2} \quad \mbox{U}_n''(1) + \mbox{U}_n'(1) - \mbox{U}_n'(1)^2 = \frac{n^2-1}{12}.

ポアソン分布

ポアソン分布とは単位時間中に平均\lambda回発生する事象がちょうどk回発生する確率。

\textstyle \mbox{Pr}(X=k) = e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!}

確率母関数は

Failed to parse (lexing error): \textstyle \begin{align} G(z) &= \Sigma_{k=0}^{\infty} e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!} z^k = e^{-\lambda}\Sigma_{k=0}^{\infty}\frac{(\lambda z)^k}{k!} = e^{-\lambda} e^{\lambda z}　\\ &= e^{\lambda (z-1)} \end{align}


平均と分散は

\textstyle \mbox{G}'(1) = \lambda \quad \mbox{G}''(1) + \mbox{G}'(1) - \mbox{G}'(1)^2 = \lambda

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