Aritalab:Lecture/Basic/Probability Generating Function

Revision as of 09:15, 3 June 2010

確率母関数

ある確率分布 $Pr(X=k)$ の確率母関数(probability generating function または pgf)を以下のように定義する。

$\textstyle G_X(z) = \Sigma_{k=0}^{\infty}\mbox{Pr}(X=k)z^k$

確率 $\mbox{Pr}(X=k)$ は全て正の値でkについて全て足しあわせると1になる。

$\textstyle G_X(1) = \Sigma_{k=0}^{\infty}\mbox{Pr}(X=k)z^k = \Sigma_{k=0}^{\infty}\mbox{Pr}(X=k) = 1$

逆に係数が非負で $G(1) = 1$ であるようなべき級数 $G(z)$ があれば、それは何らかの確率母関数である。

平均と分散

確率母関数を使うと平均と分散の計算が容易にできる。

$\textstyle \begin{align} EX &= \Sigma_{k=0}^{\infty}k\mbox{Pr}(X=k) \\ &= \Sigma_{k=0}^{\infty}\mbox{Pr}(X=k) \cdot kz^{k-1} \bigg|_{x=1} \\ &= G_X'(1) \end{align}$

$\textstyle \begin{align} E(X^2) &= \Sigma_{k=0}^{\infty}k^2\mbox{Pr}(X=k) \\ &= \Sigma_{k=0}^{\infty}\mbox{Pr}(X=k) \cdot \big( k(k-1) z^{k-2} + kz^{k-1} \big) \bigg|_{x=1} \\ &= G_X''(1) + G_X'(1) \end{align}$

したがって

$\textstyle VX = G_X''(1) + G_X'(1) - G_X'(1)^2$

一様分布

n次の一様分布(uniform distribution)とは確率変数が ${0, 1, \ldots, n-1}$ の値を確率 $1/n$ でとるもの。

$\textstyle \mbox{Pr}(X=k) = 1/n$

確率母関数は以下の等比級数になる。 $\textstyle \mbox{U}_n(z) = \frac{1}{n}(1 + z + \cdots + z^{n-1}) = \frac{1}{n}\frac{1-z^n}{1-z}$

この式は $1-z$ を分母に含んでしまうため、 $\mbox{U}_n'(1)$ や $\mbox{U}_n''(1)$ を求める際に不都合である。そこでテイラーの定理を応用する。

$G(1+t) = G(1) + \frac{G'(1)}{1!} t + \frac{G''(1)}{2!} t^2 + \frac{G'''(1)}{3!} t^3 + \cdots$

この係数、つまり $G(z)$ の導関数を以下の式と見比べればよい。

$\begin{align} \mbox{U}_n(1+t) &= \frac{1}{n}\frac{(1+t)^n - 1}{t} \\ &= \frac{1}{n}\binom{n}{1} + \frac{1}{n}\binom{n}{2} t + \frac{1}{n}\binom{n}{3} t^2 + \cdots + \frac{1}{n}\binom{n}{t} t^{n-1} \end{align}$

ここから

$\textstyle \mbox{U}_n(1) = 1 \quad \mbox{U}_n'(1) = \frac{n-1}{2} \quad \mbox{U}_n''(1) = \frac{(n-1)(n-2)}{3} \quad$

平均と分散は

$\textstyle \mbox{U}_n'(1) = \frac{n-1}{2} \quad \mbox{U}_n''(1) + \mbox{U}_n'(1) - \mbox{U}_n'(1)^2 = \frac{n^2-1}{12}.$

ポアソン分布

ポアソン分布とは単位時間中に平均 $\lambda$ 回発生する事象がちょうどk回発生する確率。

$\textstyle \mbox{Pr}(X=k) = e^{\lambda}\frac{\lambda^k}{k!}$

確率母関数は

Failed to parse (lexing error): \textstyle \begin{align} G(z) &= \Sigma_{k=0}^{\infty} e^{\lambda}\frac{\lambda^k}{k!} z^k = e^{\lambda}\Sigma_{k=0}^{\infty}\frac{(\lambda z)^k}{k!} = e^{\lambda} e^{\lambda z}　\\ &= e^{\lambda (z-1)} \end{align}

平均と分散は

$\textstyle \mbox{G}'(1) = \lambda \quad \mbox{G}''(1) + \mbox{G}'(1) - \mbox{G}'(1)^2 = \lambda$

@@ Line 51: / Line 51: @@
 </math>
-この式は<math>1-z</math>を分母に含んでしまうため、<math>\mbox{U}_n'(1)</math>や<math>\mbox{U}_n''(1)</math>を求めるのが不都合である。そこでテイラーの定理を応用する。
+この式は<math>1-z</math>を分母に含んでしまうため、<math>\mbox{U}_n'(1)</math>や<math>\mbox{U}_n''(1)</math>を求める際に不都合である。そこでテイラーの定理を応用する。
 <math>
@@ Line 81: / Line 81: @@
 \mbox{U}_n''(1) + \mbox{U}_n'(1) - \mbox{U}_n'(1)^2 = \frac{n^2-1}{12}.
 </math>
 ==ポアソン分布==

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平均と分散

一様分布

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