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==ガンマ関数==

<math>
\Gamma(z) = \int^\infty_0 e^{-t} t^{z-1} dt
</math>

は階乗の一般化で <math> \Gamma(z+1) = z \Gamma(z)\, </math> を満たす。''z'' が正の整数の場合は
<math>\Gamma(z + 1) = z!\,</math>

;例
:<math>\Gamma(1) = 1\,</math>
:<math>\Gamma(1/2) = \sqrt{\pi}\,</math>
:<math>\Gamma(3/2) = \sqrt{\pi}/2\,</math>
:<math>\Gamma(z+1/2) = \frac{(2n)!}{2^{2n}n!}\sqrt{\pi}</math>

;近似
:<math>\Gamma(z+1) = z! \sim \sqrt{2\pi z} e^{-z}z^z </math> Stirling の公式

==ベータ関数==
<math>
\Beta(x,y) = \int^1_0 t^{x-1} (1-t)^{y-1} dt
</math>

;例
:<math>\Beta(x,y) = \Beta(y,x)\,</math>
:<math>\Beta(x,y) = \frac{x+y}{y} \Beta(x,y+1)\,</math>
:<math>\Beta(x,y) = \frac{\Gamma(x) \Gamma(y)}{\Gamma(x + y)}</math>
:<math>\Beta(\frac{1}{2},\frac{1}{2}) = \pi\,</math>