Aritalab:Lecture/NetworkBiology/Percolation

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パーコレーションとは

パーコレーション(浸透)理論 (percolation theory) では、非常に大きな格子において各格子点が周囲とは全く独立に確率pで占有されるときに生成されるクラスターを解析する。 様々な格子において、確率pがある閾値p_cに達すると、無限に大きなクラスターが存在し始める(臨界現象)。この値を浸透閾値 (percolation threshold) と呼ぶ。浸透閾値p_cはほとんどの場合について厳密解が求まっていないが、数値シミュレーション等で解析されている。

上記のように格子点が確率pで占有される過程を、正確にはサイト過程と呼ぶ。これに対して、格子点と格子点を結ぶ辺(ボンド)が確率pで開閉されると考えて生成するクラスターを解析する場合を、ボンド過程と呼ぶ。

主な浸透閾値p_c (*は厳密解)
格子の種類 サイト ボンド
蜂の巣 0.697043 0.65271*
正方  0.5927462 1/2 *
三角 1/2 * 0.34729*
ダイヤモンド 0.4301 0.3893
単純立方 0.311608 0.248813
体心立方 0.245691 0.180287
面心立方[1] 0.199236 0.120163
d=4 超立方 0.196885 0.160131
d=5 超立方 0.140797 0.118172
d=6 超立方 0.109018 0.094202
d=7 超立方 0.088951 0.078675

クラスターと周縁

各格子点は確率pで占有されるとし、占有された格子点の集まりをクラスターと呼ぶ。特に、大きさがsのクラスターをs-クラスターと呼ぶ。クラスターの周囲の格子点は空でなくてはならない。クラスターに隣接する空の格子点群を周縁 (perimeter) と呼ぶ。クラスターが大きくなると内部にも周縁が存在しうるので、周縁と周囲は異なることに注意しよう。

ある格子点を含む、大きさs、周縁tの異なるクラスターの数をa_{s,t}であらわす。2次元格子の場合、以下のようになる。

a_{1,4} = 1 \quad a_{2,6} = 4 \quad a_{3,7} = 12 \quad a_{3,8} = 6

母関数とよく使う記法

これからよく使う記法を母関数\textstyle A(x,y) = \sum_{s,t} a_{s,t} x^s y^tを使ってまとめておく。

  • ある格子点が、大きさs、周縁tのクラスターに含まれる確率
\textstyle p_{s,t} = a_{s,t} p^s (1-p)^t
  • ある格子点が、s-クラスターに含まれる確率
\textstyle P_s = \sum_t p_{s,t}
  • ある格子点が、有限の大きさのクラスターに含まれる確率
\textstyle F = \sum_{s,t} p_{s,t} = \sum_s P_s = A(p, 1-p)
  • ある格子点が、無限大のクラスターに含まれる確率 (=浸透確率)
\textstyle P_{\infty} = p - F
  • ある格子点が含まれる、有限の大きさのクラスターの平均サイズ
S = \frac{\sum_{s,t} s p_{s,t}}{F} = \frac{\sum_s s P_s}{\sum_s P_s} = x\frac{\partial}{\partial x}\log A(x,y) \Bigg|_{x=p,\ y=1-p}
  • 個々のクラスターを1回だけ数えたときの、クラスターの平均サイズ
\langle s \rangle = \frac{\sum_s P_s}{\sum_s (1/s)P_s}

一次元の場合

一次元の場合は、無限に長い直線上に、定められた間隔で格子点をおく。 無限に伸びるクラスターができるためには全ての格子点が占有されなくてはならないのでp_c=1である。 また、周縁サイズは常にt=2の1パターンのみとなる。 この簡便さから、多くの問いに対して厳密解を求めることができる。

  • 母関数
A(x,y) = \sum_s s x^s y^2 = \frac{xy^2}{(1-x)^2}
  • ある格子点が、s-クラスターに含まれる確率
\textstyle P_s = s p_{s,t} = s p^s (1-p)^2
  • ある格子点が、有限の大きさのクラスターに含まれる確率
\textstyle F = \sum_{s,t} p_{s,t} = \sum_s P_s = p
  • ある格子点が、無限大のクラスターに含まれる確率 (=浸透確率)
\textstyle P_{\infty} = p - F = 0
  • ある格子点が含まれる、有限の大きさのクラスターの平均サイズ

\begin{align}
S &= \frac{\sum_{s,t} s p_{s,t}}{F} = \frac{\sum_s s P_s}{\sum_s P_s} 
= \frac{x}{p} \frac{\partial}{\partial x} A(x,y) \Bigg|_{x=p,\ y=1-p}\\
&= \frac{(1-p)^4 + 2p(1-p)^2(1-p)}{(1-p)^4} = \frac{1+p}{1-p}
\end{align}
  • 個々のクラスターを1回だけ数えたときの、クラスターの平均サイズ
\langle s \rangle = \frac{\sum_s P_s}{\sum_s (1/s)P_s}

相関関数と相関距離

ある占有された格子点からrだけ離れた格子点が同じクラスターに属する確率をg(r)であらわし、相関関数とよぶ。

\textstyle g(r) = p^r = \exp( -r / \xi )

ここで\textstyle \xi = -\frac{1}{\log(p)} \sim \frac{1}{1 - p} = \frac{1}{p_c-p}。この\xiを相関距離といい、大まかにいってクラスターの差し渡しに比例する。特に一次元の場合は、\textstyle S \varpropto \xi \ (p \rightarrow p_c)が成立。

一般に\textstyle \Sigma_r g(r) = Sが成立する。

証明
一次元の場合はrステップ離れた箇所まで全ての点が占有されねばならないから\textstyle g(0) = 1,\ g(1)= p,\ g(2) = p^2, g(r) = p^rが成立。
\textstyle \Sigma_r g(r) = \Sigma_0^{\infty}g(r) + \Sigma_0^{-\infty}g(r) - g(0) = 2 \frac{1-p^{\infty}}{1-p} - 1 = \frac{1+p}{1-p} = S。(証明終)

木またはベーテ格子の場合

次数が一定で無限に大きな木をベーテ格子と呼ぶ(有限の場合はケーリー木と呼んでもよい)。 磁性を扱う方法の一つであるベーテ近似によりこの木の厳密解が求まるため、ベーテ格子と呼ぶようになった。 一次元の場合は、次数が2のベーテ格子と考えられる。

次数がdの木の場合、原点はd本の枝を持つ。残りの点は通ってきた点のほかにd-1本の枝を持ち、それらの先に確率pで占有される格子点が存在する。先に進める確率は(d-1)pになるので、無限大のクラスターが存在し始める値は\textstyle p_c=\frac{1}{d-1}。これより低いpの値では、無限に大きなクラスターは決して存在しない。以降、簡単のためd=3 (p_c = 1/2)に話を限定する。母関数を求めるのはややこしいが、興味のある人は「パーコレーションの科学」(小田垣 孝著 裳華房)を参照してほしい。

浸透確率 P

ある格子点が、無限大のクラスターに含まれる確率 (=浸透確率)を求めよう。 p > p_c = 1/2 のとき(無限に大きいクラスターがあるとき)、任意の格子点が、それから始まる枝のうち一つを通しては無限遠につながらない確率をQとする。 ある近接した格子点から外に無限遠へつながらない確率は、その格子点が占有されていないか、占有されてもその先でつながらない確率を足したもの。 これはQに等しいはずなのでQ = (1-p) + pQ^2。これを解くとQ = 1,\ (1-p)/p

Q=1の場合は無限遠に決してつながらず、p < 1/2 のときの P=0 に対応する。 p > 1/2 のとき、 Q = (1-p)/p を考える。 原点が占有されていても無限遠につながらない確率は p-P = pQ^3。 これよりP = p(1-Q^3) = p - (1-p)^3/p^2

まとめると

p < 1/2 p > 1/2
F p (1-p)^3/p^2
P 0 p - (1-p)^3/p^2

クラスターの平均サイズ S

ある枝の先につながっている格子点数の期待値をTと書く。 枝の先にある格子点が占有されていれば、その格子点プラス二つの枝の平均が付け加わるのでT = (1-p)0 +p(1+2T)。 これを解くとp<1/2のときに限りT=p/(1-2p)。 原点が属するクラスターの平均サイズは\textstyle 1 + 3T = \frac{1+p}{1-2p} = \frac{1+p}{2(p_c - p)}



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