Aritalab:Lecture/NetworkBiology/Degree Distribution
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| − | 次数相関 | + | 次数相関 r をピアソンの相関係数に従って定義しましょう。M 本ある辺の両端点 u, v の次数をそれぞれ k<sub>u</sub>, k<sub>u</sub> とおきます。相関係数の分子は k<sub>u</sub>, k<sub>v</sub> の平均からの差分を計算します。 |
| − | 分母は | + | 分母は k<sub>u</sub> と k<sub>v</sub> の標準偏差の積ですが、ここでは分散を使っています。 |
<math>r = \frac{\sum_{(u,v)\in E}^M (k_u k_v - \langle k \rangle^2) }{M (\langle k^2 \rangle - \langle k \rangle^2) } </math> | <math>r = \frac{\sum_{(u,v)\in E}^M (k_u k_v - \langle k \rangle^2) }{M (\langle k^2 \rangle - \langle k \rangle^2) } </math> | ||
Revision as of 12:03, 6 August 2016
Contents |
次数分布
次数 k が全頂点の中で占める割合 p(k) を次数分布といいます。確率分布なので総和は 1 です。
その平均値を、平均次数といい <k> = Σ k p(k) と書きます。
隣接点の次数分布
隣接する頂点の次数を 
と書きましょう。ここで次数 k の頂点に隣接する頂点の次数が j です。
別の言い方をすると、頂点をランダムに選んで次数が j である確率は p( j) ですが、辺をランダムに選んでその先に来る頂点の次数が j である確率が p ( j | k ) です。辺をたどった先の頂点はハブが来やすく、その来やすさは、頂点の次数に正比例します。（次数 j の頂点は相対的に j / <k> だけ、現れやすい。）
辺の先に来る頂点の次数平均を求めましょう。
この値は各所で用いますが、k から j をたどる辺 1 本ぶんを最初に引いておく場合もあります。このとき、値は 
になります。
次数相関
隣接する頂点どうしの次数が似る度合いを次数相関といいます。 辺がランダムに張られる場合は次数相関は 0 になりますが、映画俳優の競演関係といったネットワークはハブどうしが隣接する、つまり正の相関を持つ (assortative) ことが知られています。 生態系のような生物学ネットワークでは負の相関を持つ (disassortative) と考えられます。
隣接点の平均次数は、次数分布や頂点の次数 k によらず一定値となります。
全頂点の次数が同じ時 <k2> = <k>2 となるので、隣接点の平均次数は <k> - 1 になります（たどってくる辺を除いた場合）。また次数の偏りが大きくハブが存在する場合、隣接点の平均次数は <k> を大きくうわまわります。（つまり隣にハブが来やすくなる。）次数がポアソン分布に従う場合、<k2> = <k>2 + <k> が成り立ちます。ポアソン分布の場合は、たどる辺を差し引くと、ちょうど隣接点も次数 <k> になります。
計算法
次数相関 r をピアソンの相関係数に従って定義しましょう。M 本ある辺の両端点 u, v の次数をそれぞれ ku, ku とおきます。相関係数の分子は ku, kv の平均からの差分を計算します。 分母は ku と kv の標準偏差の積ですが、ここでは分散を使っています。
