Aritalab:Lecture/Basic/Generating Function

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母関数

扱う対象とする無限列を、補助変数 z を用いてべき級数 (power series) として表現する方法を母関数 (generating function) といいます。


G(z) = a_0 + a_1z + a_2z^2 + \cdots = \Sigma_{k=0}^{\infty}a_k z^k

母関数の例

自然数

an = n + 1 の母関数は


1 + 2 z + 3 z^2 + \cdots = \Sigma^{\infty}_{n=0} (n+1)z^n

です。この右辺を閉じた式にするには


z(1 + z + z^2 + \cdots) = \Sigma^{\infty}_{n=0}z^{n+1} = z/(1-z)

|s| < 1 で収束するので、両辺を微分して


1 + 2 z + 3 z^2 + \cdots = 1/(1-z)^2

が得られます。

べき乗

an = 2nの母関数は


1 + 2 z + 4 z^2 + \cdots = \Sigma^{\infty}_{n=0} (2z)^n = \frac{1}{1-2z}

です。ただし |z| < 1/2 と仮定します。

二項定理

二項定理は、(1+z)^r が数列\textstyle \binom{r}{0}, \binom{r}{1}, \binom{r}{2}, \ldots の母関数表現と解釈できます。すなわち


\sum_{k=0}^{\infty} \binom{r}{k} z^k = (1+z)^r

が成立します。この式を二つ掛け合わせると


(1+z)^r (1+z)^s = (1+z)^{r+s} = \sum_{k=0}^{\infty} \binom{r+s}{k} z^k

両者の Σ 式において zn の係数が等しいとおけば


\sum_{k=0}^{n} \binom{r}{k} \binom{s}{n-k} = \binom{r+s}{n}

が得られます。これをヴァンデルモンドの畳み込み式 (convolution) といいます。 一般化すると以下のように書けます。


\begin{align}
F(z)G(z) &= (f_0 + f_1z + f_2z^2 + \cdots)(g_0 + g_1z + g_2z^2 + \cdots) \\
&= (f_0g_0) + (f_0g_1+ f_1g_0)z + (f_0g_2+f_1g_1+f_2g_0)z^2 + \cdots \\
&= \sum_n \Big( \sum_k f_k g_{n-k} \Big) z^n
\end{align}

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