Aritalab:Lecture/Basic/Generating Function

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Revision as of 07:05, 3 June 2010

母関数

扱う対象とする無限列を補助変数zを用いてべき級数(power series)として表現するやり方を母関数という。


G(z) = a_0 + a_1z + a_2z^2 + \cdots = \Sigma_{k=0}^{\infty}a_k z^k

例えば二項定理は、(1+z)^rが数列\textstyle \binom{r}{0}, \binom{r}{1}, \binom{r}{2}, \ldots の母関数だという意味になる。


(1+z)^r = \sum_{k=0}^{\infty} \binom{r}{k} z^k

この式を二つ掛け合わせると


(1+z)^r (1+z)^s = (1+z)^{r+s} = \sum_{k=0}^{\infty} \binom{r+s}{k} z^k

両者の\Sigma式においてz^nの係数が等しいとおくことでヴァンデルモンドの畳み込み式(convolution)を得る。


\sum_{k=0}^{n} \binom{r}{k} \binom{s}{n-k} = \binom{r+s}{n}

これを一般化すると以下のように書ける。


\begin{align}
F(z)G(z) &= (f_0 + f_1z + f_2z^2 + \cdots)(g_0 + g_1z + g_2z^2 + \cdots) \\
&= (f_0g_0) + (f_0g_1+ f_1g_0)z + (f_0g_2+f_1g_1+f_2g_0)z^2 + \cdots \\
&= \sum_n \Big( \sum_k f_k g_{n-k} \Big) z^n
\end{align}

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