Aritalab:Lecture/NetworkBiology/Diffusion - Revision history

Adm: /* Kolmogorov 微分方程式 */

2012-06-27T05:32:35Z

‎Kolmogorov 微分方程式

Adm: /* Kolmogorov 微分方程式 */

2012-06-27T04:56:53Z

‎Kolmogorov 微分方程式

Adm: /* Chapman-Kolmogorov 等式 */

2012-06-27T04:55:19Z

‎Chapman-Kolmogorov 等式

Adm: /* 拡散過程 */

2012-06-27T04:25:33Z

‎拡散過程

Adm: /* 拡散過程 */

2012-06-26T07:40:39Z

‎拡散過程

Adm: /* ランダムウォークとブラウン運動 */

2012-06-26T07:39:02Z

‎ランダムウォークとブラウン運動

Adm at 07:21, 26 June 2012

2012-06-26T07:21:35Z

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2012-06-13T08:21:13Z

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==拡散過程==

連続時間の確率過程 { X(t) : t ∈ [ 0, ∞ ) } における次状態が、現在の状態にのみ依存する場合をマルコフ過程と呼びます。

時刻 t で状態 x から、時刻 s で状態 y に遷移したとき、その確率密度関数を p ( y, s; x, t ) とかきます。ここでは時間について一様 (homogenious) であることを仮定します。

: p ( y, s + Δt; x, t + Δt) = p ( y, s; x, t )

つまり Δ 時間ずらしても遷移に影響はありません。連続時間のマルコフ過程が如何なる ε に対しても次の条件を満たすとき、それを拡散過程と呼びます。

# <math>\lim_{\Delta t \rightarrow 0^+} \frac{1}{\Delta t} \int_{|y-x| > \epsilon} p(y, t + \Delta t; x, t) dy = 0 </math> (微小時間 Δ t における遷移は無視できる)
# <math>\lim_{\Delta t \rightarrow 0^+} \frac{1}{\Delta t} \int_{|y-x| \leq \epsilon} (y-x) p(y, t + \Delta t; x, t) dy = a(x,t) </math> (微小時間 Δ t における平均値は a)
# <math>\lim_{\Delta t \rightarrow 0^+} \frac{1}{\Delta t} \int_{|y-x| \leq \epsilon} (y-x)^2 p(y, t + \Delta t; x, t) dy = b(x,t) </math> (微小時間 Δ t における平均値は b)

これらの式はより条件の厳しい以下の式から導けます。

#' <math>\lim_{\Delta t \rightarrow 0^+} \frac{1}{\Delta t} \int^{\infty}_{-\infty} |y-x|^{\delta} p(y, t + \Delta t; x, t) dy = 0 </math>
#' <math>\lim_{\Delta t \rightarrow 0^+} \frac{1}{\Delta t} \int^{\infty}_{-\infty} (y-x) p(y, t + \Delta t; x, t) dy = a(x,t) </math>
#' <math>\lim_{\Delta t \rightarrow 0^+} \frac{1}{\Delta t} \int^{\infty}_{-\infty} (y-x)^2 p(y, t + \Delta t; x, t) dy = b(x,t) </math>

1' の式から

==Chapman-Kolmogorov 等式==

: p ( y, s; x, t ) = <math>\int^{\infty}_{-\infty} p(y, s; z, u) p(z, u,; x, t) dz,\ \ t < u < s </math>

@@ Line 89: / Line 89: @@
 ==Kolmogorov 微分方程式==
-コルモゴロフ微分方程式には前向きと後ろ向きがあります。遷移確率が移動先（未来）の状態、あるいは移動元（過去）の状態を用いて記述されるかの違いです。
+コルモゴロフ微分方程式には前向きと後ろ向きがあります。遷移確率が移動先（未来）の状態、あるいは移動元（過去）の状態を用いて記述されるかの違いです。平均と分散の収束先である係数 a(y,t), b(y,t) を時間に非依存としてそれぞれ a(y), b(y) として書いています。
 *前向き方程式： (y,s) を用いて記述
-: <math>\textstyle \frac{\partial p(y,s;x,t)}{\partial s} = - \frac{\partial [a(y,s)p(y,s;x,t)]}{\partial y} + \frac{1}{2} \frac{\partial^2[b(y,s)p(y,s;x,t)]}{\partial y^2}</math> (Fokker-Planck 等式とも呼ばれる）
+: <math>\textstyle \frac{\partial p(y,s;x,t)}{\partial s} = - \frac{\partial [a(y)p(y,s;x,t)]}{\partial y} + \frac{1}{2} \frac{\partial^2[b(y)p(y,s;x,t)]}{\partial y^2}</math> (Fokker-Planck 等式とも呼ばれる）
 *後ろ向き方程式： (x,t) を用いて記述
-: <math>\textstyle \frac{\partial p(y,s;x,t)}{\partial t} = -a(x,t)\frac{\partial p(y,s;x,t)}{\partial x} - \frac{1}{2}b(x,t)\frac{\partial^2 p(y,s;x,t)}{\partial x^2}</math>
+: <math>\textstyle \frac{\partial p(y,s;x,t)}{\partial t} = -a(x)\frac{\partial p(y,s;x,t)}{\partial x} - \frac{1}{2}b(x)\frac{\partial^2 p(y,s;x,t)}{\partial x^2}</math>
 以下のChapman-Kolmogorov等式と
@@ Line 109: / Line 109: @@
 </math>
 ここで両辺を &Delta; t で割って &Delta; t → 0 とおけば後ろ向きの微分方程式が得られます。

@@ Line 91: / Line 91: @@
 コルモゴロフ微分方程式には前向きと後ろ向きがあります。遷移確率が移動先（未来）の状態、あるいは移動元（過去）の状態を用いて記述されるかの違いです。
-*前向き: (y,s) を用いて記述
+*前向き方程式： (y,s) を用いて記述
-: <math>\textstyle \frac{\partial p(y,s;x,t)}{\partial s} = - \frac{\partial [a(y,s)p(y,s;x,t)]}{\partial y} + \frac{1}{2} \frac{\partial^2[b(y,s)p(y,s;x,t)]}{\partial y^2}</math>
+: <math>\textstyle \frac{\partial p(y,s;x,t)}{\partial s} = - \frac{\partial [a(y,s)p(y,s;x,t)]}{\partial y} + \frac{1}{2} \frac{\partial^2[b(y,s)p(y,s;x,t)]}{\partial y^2}</math> (Fokker-Planck 等式とも呼ばれる）
-*後ろ向き: (x,t) を用いて記述
+*後ろ向き方程式： (x,t) を用いて記述
 : <math>\textstyle \frac{\partial p(y,s;x,t)}{\partial t} = -a(x,t)\frac{\partial p(y,s;x,t)}{\partial x} - \frac{1}{2}b(x,t)\frac{\partial^2 p(y,s;x,t)}{\partial x^2}</math>

@@ Line 87: / Line 87: @@
 が成立するので、2'および3'が成立する際には収束する成分は &epsilon; 近傍内に限られます。
-==Chapman-Kolmogorov 等式==
+==Kolmogorov 微分方程式==
-: p ( y, s; x, t ) = <math>\int^{\infty}_{-\infty} p(y, s; z, u) p(z, u,; x, t) dz,\ \ t < u < s </math>
+コルモゴロフ微分方程式には前向きと後ろ向きがあります。遷移確率が移動先（未来）の状態、あるいは移動元（過去）の状態を用いて記述されるかの違いです。

@@ Line 55: / Line 55: @@
 : p ( y, s + &Delta;t; x, t + &Delta;t) = p ( y, s; x, t )
-つまり &Delta; 時間ずらしても遷移に影響はありません。連続時間のマルコフ過程が如何なる &epsilon; に対しても次の条件を満たすとき、それを拡散過程と呼びます。
+つまり &Delta; 時間ずらしても遷移に影響はありません。連続時間のマルコフ過程が如何なる &epsilon; >0 に対しても次の条件を満たすとき、それを拡散過程と呼びます。
-# <math>\textstyle\lim_{\Delta t \rightarrow 0^+} \frac{1}{\Delta t} \int_{|y-x| > \epsilon} p(y, t + \Delta t; x, t) dy = 0 </math>
+. <math>\textstyle\lim_{\Delta t \rightarrow 0^+} \frac{1}{\Delta t} \int_{|y-x| > \epsilon} p(y, t + \Delta t; x, t) dy = 0 </math>
-:(微小時間 &Delta; t における遷移は無視できる)
+:(微小時間 &Delta; t における、&epsilon;近傍より大きな移動は無視できる)
-# <math>\textstyle\lim_{\Delta t \rightarrow 0^+} \frac{1}{\Delta t} \int_{|y-x| \leq \epsilon} (y-x) p(y, t + \Delta t; x, t) dy = a(x,t) </math>
+. <math>\textstyle\lim_{\Delta t \rightarrow 0^+} \frac{1}{\Delta t} \int_{|y-x| \leq \epsilon} (y-x) p(y, t + \Delta t; x, t) dy = a(x,t) </math>
-:(微小時間 &Delta; t における平均値は a)
+:(微小時間 &Delta; t における移動距離の平均値は a)
-# <math>\textstyle\lim_{\Delta t \rightarrow 0^+} \frac{1}{\Delta t} \int_{|y-x| \leq \epsilon} (y-x)^2 p(y, t + \Delta t; x, t) dy = b(x,t) </math>
+. <math>\textstyle\lim_{\Delta t \rightarrow 0^+} \frac{1}{\Delta t} \int_{|y-x| \leq \epsilon} (y-x)^2 p(y, t + \Delta t; x, t) dy = b(x,t) </math>
-:(微小時間 &Delta; t における平均値は b)
+:(微小時間 &Delta; t における移動距離の分散は b)
 これらの式はより条件の厳しい以下の式から導けます。
-#' <math>\textstyle\lim_{\Delta t \rightarrow 0^+} \frac{1}{\Delta t} \int^{\infty}_{-\infty} |y-x|^{\delta} p(y, t + \Delta t; x, t) dy = 0 </math>
+'. <math>\textstyle\lim_{\Delta t \rightarrow 0^+} \frac{1}{\Delta t} \int^{\infty}_{-\infty} |y-x|^{\delta} p(y, t + \Delta t; x, t) dy = 0 </math> for some &delta; > 2
-#' <math>\textstyle\lim_{\Delta t \rightarrow 0^+} \frac{1}{\Delta t} \int^{\infty}_{-\infty} (y-x) p(y, t + \Delta t; x, t) dy = a(x,t) </math>
-#' <math>\textstyle\lim_{\Delta t \rightarrow 0^+} \frac{1}{\Delta t} \int^{\infty}_{-\infty} (y-x)^2 p(y, t + \Delta t; x, t) dy = b(x,t) </math>
-' の式から
+'. <math>\textstyle\lim_{\Delta t \rightarrow 0^+} \frac{1}{\Delta t} \int^{\infty}_{-\infty} (y-x) p(y, t + \Delta t; x, t) dy = a(x,t) </math>
 ==Chapman-Kolmogorov 等式==
 : p ( y, s; x, t ) = <math>\int^{\infty}_{-\infty} p(y, s; z, u) p(z, u,; x, t) dz,\ \ t < u < s </math>

@@ Line 57: / Line 57: @@
 つまり &Delta; 時間ずらしても遷移に影響はありません。連続時間のマルコフ過程が如何なる &epsilon; に対しても次の条件を満たすとき、それを拡散過程と呼びます。
-# <math>\lim_{\Delta t \rightarrow 0^+} \frac{1}{\Delta t} \int_{|y-x| > \epsilon} p(y, t + \Delta t; x, t) dy = 0 </math> (微小時間 &Delta; t における遷移は無視できる)
+# <math>\textstyle\lim_{\Delta t \rightarrow 0^+} \frac{1}{\Delta t} \int_{|y-x| > \epsilon} p(y, t + \Delta t; x, t) dy = 0 </math>
-# <math>\lim_{\Delta t \rightarrow 0^+} \frac{1}{\Delta t} \int_{|y-x| \leq \epsilon} (y-x) p(y, t + \Delta t; x, t) dy = a(x,t) </math> (微小時間 &Delta; t における平均値は a)
+:(微小時間 &Delta; t における遷移は無視できる)
-# <math>\lim_{\Delta t \rightarrow 0^+} \frac{1}{\Delta t} \int_{|y-x| \leq \epsilon} (y-x)^2 p(y, t + \Delta t; x, t) dy = b(x,t) </math> (微小時間 &Delta; t における平均値は b)
+# <math>\textstyle\lim_{\Delta t \rightarrow 0^+} \frac{1}{\Delta t} \int_{|y-x| \leq \epsilon} (y-x) p(y, t + \Delta t; x, t) dy = a(x,t) </math>
 これらの式はより条件の厳しい以下の式から導けます。
-#' <math>\lim_{\Delta t \rightarrow 0^+} \frac{1}{\Delta t} \int^{\infty}_{-\infty} |y-x|^{\delta} p(y, t + \Delta t; x, t) dy = 0 </math>
+#' <math>\textstyle\lim_{\Delta t \rightarrow 0^+} \frac{1}{\Delta t} \int^{\infty}_{-\infty} |y-x|^{\delta} p(y, t + \Delta t; x, t) dy = 0 </math>
-#' <math>\lim_{\Delta t \rightarrow 0^+} \frac{1}{\Delta t} \int^{\infty}_{-\infty} (y-x) p(y, t + \Delta t; x, t) dy = a(x,t) </math>
+#' <math>\textstyle\lim_{\Delta t \rightarrow 0^+} \frac{1}{\Delta t} \int^{\infty}_{-\infty} (y-x) p(y, t + \Delta t; x, t) dy = a(x,t) </math>
-#' <math>\lim_{\Delta t \rightarrow 0^+} \frac{1}{\Delta t} \int^{\infty}_{-\infty} (y-x)^2 p(y, t + \Delta t; x, t) dy = b(x,t) </math>
+#' <math>\textstyle\lim_{\Delta t \rightarrow 0^+} \frac{1}{\Delta t} \int^{\infty}_{-\infty} (y-x)^2 p(y, t + \Delta t; x, t) dy = b(x,t) </math>
 ' の式から

@@ Line 3: / Line 3: @@
 数直線上で原点から出発するランダムウォークが左（負の方向）にいく確率を q 右（正の方向）にいく確率を p とします。ここで p + q = 1 です。時刻 t において位置 x にいる確率を u ( x , t ) と書いて漸化式を作ると
-:<math>\ u(x, t + \Delta t) = p  u( x -\Delta x, t ) + q u ( x + \Delta x, t )</math>
+:<math>\textstyle u(x, t + \Delta t) = p  u( x -\Delta x, t ) + q u ( x + \Delta x, t )</math>
 となります。ここで &Delta;x が歩幅、&Delta;t が単位時間です。この式で右側をテイラー展開してみます。
 :<math>
-\begin{align}\textstyle u(x, t+ \Delta t) &= p \Big[ u(x,t) + \frac{\partial u(x,t)}{\partial x} (- \Delta x) + \frac{\partial^2 u(x,t)}{\partial x^2} \frac{(\Delta x)^2}{2} + O((\Delta x)^3) \Big] \\ \textstyle
+\begin{align}
-  & + q \Big[ u(x,t) + \frac{\partial u(x,t)}{\partial x} (\Delta x) + \frac{\partial^2 u(x,t)}{\partial x^2} \frac{(\Delta x)^2}{2} + O((\Delta x)^3) \Big] \\
+ u(x, t+ \Delta t) &= \textstyle p \Big[ u(x,t) + \frac{\partial u(x,t)}{\partial x} (- \Delta x) + \frac{\partial^2 u(x,t)}{\partial x^2} \frac{(\Delta x)^2}{2} + O((\Delta x)^3) \Big] \\
-  &= u(x,t) + (q-p)\frac{\partial u(x,t)}{\partial x} \Delta x + \frac{\partial^2 u(x,t)}{\partial x^2} \frac{(\Delta x)^2}{2} + O((\Delta x)^3) \Big].
+  & \textstyle + q \Big[ u(x,t) + \frac{\partial u(x,t)}{\partial x} (\Delta x) + \frac{\partial^2 u(x,t)}{\partial x^2} \frac{(\Delta x)^2}{2} + O((\Delta x)^3) \Big] \\
 \end{align}
 </math>
@@ Line 24: / Line 25: @@
 :<math>
 \begin{align}
-\lim_{\Delta t, \Delta x \rightarrow 0} (p-q) \frac{\Delta x}{\Delta t} &= c \\
+\textstyle \lim_{\Delta t, \Delta x \rightarrow 0} (p-q)\frac{\Delta x}{\Delta t} &= c \\
-\lim_{\Delta t, \Delta x \rightarrow 0}  \frac{(\Delta x)^2}{\Delta t} &= D \\
+\textstyle \lim_{\Delta t, \Delta x \rightarrow 0} \frac{(\Delta x)^2}{\Delta t} &= D \\
-\lim_{\Delta t, \Delta x \rightarrow 0} \frac{(\Delta x)^3}{\Delta t} &=0
+\textstyle \lim_{\Delta t, \Delta x \rightarrow 0} \frac{(\Delta x)^3}{\Delta t} &=0
 \end{align}
 </math>
-式を書きなおすと
+式を書きなおすと <math>\textstyle
-:<math>\textstyle
 \frac{\partial u}{\partial t} = -c \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{D}{2} \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}.
 </math>
@@ Line 36: / Line 36: @@
 このとき、離散時間のランダムウォークから話を始めましたが u ( x , t ) は連続時間・連続位置の確率分布関数になっています。これをドリフトつき拡散方程式と呼びます。また、前向きのコルモゴロフ微分方程式とも呼ばれます。
-p = q = 1/2 のとき、c = 0 となります。この場合をブラウン運動と呼びます。さらに D = 1 のとき、標準ブラウン運動、またはウィーナー過程と呼びます。
+p = q = 1/2 のとき、c = 0 となります。この場合をブラウン運動と呼びます。さらに D = 1 のとき、標準ブラウン運動、またはウィーナー過程と呼びます。 <math> \textstyle
 <math>
 \frac{\partial u}{\partial t} = \frac{D}{2} \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}.
 </math>
 この方程式を解くには初期条件が必要です。時刻 0 において確率 1 で位置 0 にいると仮定すると、解は平均が ct 分散が Dt の正規分布になります。
-:<math>
+:<math> \textstyle
-u(x,t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi Dt}} exp\Big( - \frac{(x-ct)^2}{2Dt} \Big)
+u(x,t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi Dt}} \exp\Big( - \frac{(x-ct)^2}{2Dt} \Big)
 </math>

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Line 1:		Line 1:
		+	==ランダムウォークとブラウン運動==
		+
		+	数直線上で原点から出発するランダムウォークが左（負の方向）にいく確率を q 右（正の方向）にいく確率を p とします。ここで p + q = 1 です。時刻 t において位置 x にいる確率を u ( x , t ) と書いて漸化式を作ると
		+
		+	:<math>\ u(x, t + \Delta t) = p u( x -\Delta x, t ) + q u ( x + \Delta x, t )</math>
		+
		+	となります。ここで Δx が歩幅、Δt が単位時間です。この式で右側をテイラー展開してみます。
		+	:<math>
		+	\begin{align}\textstyle u(x, t+ \Delta t) &= p \Big[ u(x,t) + \frac{\partial u(x,t)}{\partial x} (- \Delta x) + \frac{\partial^2 u(x,t)}{\partial x^2} \frac{(\Delta x)^2}{2} + O((\Delta x)^3) \Big] \\ \textstyle
		+	& + q \Big[ u(x,t) + \frac{\partial u(x,t)}{\partial x} (\Delta x) + \frac{\partial^2 u(x,t)}{\partial x^2} \frac{(\Delta x)^2}{2} + O((\Delta x)^3) \Big] \\
		+	&= u(x,t) + (q-p)\frac{\partial u(x,t)}{\partial x} \Delta x + \frac{\partial^2 u(x,t)}{\partial x^2} \frac{(\Delta x)^2}{2} + O((\Delta x)^3) \Big].
		+	\end{align}
		+	</math>
		+
		+	u( x , t ) を移項して全体を Δ t で割ります。
		+	:<math>
		+	\begin{align}\textstyle
		+	\frac{u(x, t+ \Delta t) - u(x,t)}{\Delta t} =
		+	(q - p) \frac{\partial u(x,t)}{\partial x} \frac{\Delta x}{\Delta t} + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 u(x,t)}{\partial x^2} \frac{(\Delta x)^2}{\Delta t} + O\Big( \frac{(\Delta x)^3}{\Delta t} \Big).
		+	\end{align}
		+	</math>
		+
		+	ここで以下の収束条件を仮定します。
		+	:<math>
		+	\begin{align}
		+	\lim_{\Delta t, \Delta x \rightarrow 0} (p-q) \frac{\Delta x}{\Delta t} &= c \\
		+	\lim_{\Delta t, \Delta x \rightarrow 0} \frac{(\Delta x)^2}{\Delta t} &= D \\
		+	\lim_{\Delta t, \Delta x \rightarrow 0} \frac{(\Delta x)^3}{\Delta t} &=0
		+	\end{align}
		+	</math>
		+	式を書きなおすと
		+	:<math>\textstyle
		+	\frac{\partial u}{\partial t} = -c \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{D}{2} \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}.
		+	</math>
		+
		+	このとき、離散時間のランダムウォークから話を始めましたが u ( x , t ) は連続時間・連続位置の確率分布関数になっています。これをドリフトつき拡散方程式と呼びます。また、前向きのコルモゴロフ微分方程式とも呼ばれます。
		+
		+	p = q = 1/2 のとき、c = 0 となります。この場合をブラウン運動と呼びます。さらに D = 1 のとき、標準ブラウン運動、またはウィーナー過程と呼びます。
		+	<math>
		+	\frac{\partial u}{\partial t} = \frac{D}{2} \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}.
		+	</math>
		+
		+	この方程式を解くには初期条件が必要です。時刻 0 において確率 1 で位置 0 にいると仮定すると、解は平均が ct 分散が Dt の正規分布になります。
		+	:<math>
		+	u(x,t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi Dt}} exp\Big( - \frac{(x-ct)^2}{2Dt} \Big)
		+	</math>
		+
		+	ここで上記の収束条件は重要です。分散と平均が有限値に収まるためには c, D が有限値に収束しなくてはなりません。
		+
	==拡散過程==		==拡散過程==