Aritalab:Lecture/NetworkBiology/Contact Process - Revision history

Adm at 06:30, 3 August 2017

2017-08-03T06:30:29Z

Adm: /* SIRモデルとパーコレーション */

2011-06-24T04:36:08Z

‎SIRモデルとパーコレーション

Adm: /* SIR model */

2011-06-24T04:34:54Z

‎SIR model

Adm: /* SIR model */

2011-06-24T04:33:37Z

‎SIR model

Adm at 04:31, 24 June 2011

2011-06-24T04:31:03Z

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Adm: /* 具体例 */

2011-06-23T01:14:38Z

‎具体例

Adm: /* SIRモデルとパーコレーション */

2011-06-23T00:55:26Z

‎SIRモデルとパーコレーション

Adm: /* SIR model */

2011-06-23T00:54:40Z

‎SIR model

Adm: /* コンタクトプロセス */

2011-06-23T00:41:00Z

‎コンタクトプロセス

Adm: /* SIS model */

2011-06-23T00:40:21Z

‎SIS model

← Older revision		Revision as of 06:30, 3 August 2017
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−	~~{{Lecture/Header}}~~	+	__TOC__

	==コンタクトプロセス==		==コンタクトプロセス==

← Older revision		Revision as of 04:36, 24 June 2011
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	このように、頂点ではなく辺に活性、非活性を割り当てる方式をボンド・パーコレーションと呼びます。		このように、頂点ではなく辺に活性、非活性を割り当てる方式をボンド・パーコレーションと呼びます。
		+
		+
		+	; 解説、参考
		+	<references/>

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 ここで <math>\Theta\ = 0</math> の場合として <math> t = 0,\ R_k(0) = 0 </math> という条件を利用しました。
 ここから、臨界確率<math>\lambda_c = \frac{\langle k \rangle}{\langle k^2 \rangle - \langle k \rangle}</math>となります。
-つまり、SIRモデルのほうが臨界確率が少し大きくなりますが（蔓延しにくくなる）、SISモデルとSIRモデルは基本的に結果が変わりません。
+つまり、SIRモデルのほうが臨界確率が少し大きくなりますが（蔓延しにくくなる）、SISモデルとSIRモデルは基本的に結果が変わりません。<ref>SIRモデルの臨界値は次数分布の見積もりがいい加減なので数値シミュレーションによる値は異なると思われます。</ref>
 ==SIRモデルとパーコレーション==

@@ Line 160: / Line 160: @@
 </math>
-この式が<math>\Theta = 0</math>以外にも解を持つかどうかの分岐点は
+この式が<math>\Theta = 0</math>以外にも解を持つかどうかの分岐点の判定は
 <math>
@@ Line 168: / Line 168: @@
 ここで <math>\Theta\ = 0</math> の場合として <math> t = 0,\ R_k(0) = 0 </math> という条件を利用しました。
 ここから、臨界確率<math>\lambda_c = \frac{\langle k \rangle}{\langle k^2 \rangle - \langle k \rangle}</math>となります。
-つまり、SISモデルとSIRモデルは基本的に結果が変わりません。
+つまり、SIRモデルのほうが臨界確率が少し大きくなりますが（蔓延しにくくなる）、SISモデルとSIRモデルは基本的に結果が変わりません。
 ==SIRモデルとパーコレーション==

@@ Line 86: / Line 86: @@
 ===具体例===
 ;次数分布がポアソン分布の場合
 <math>p(k) = e^{- \lambda} (\lambda^k/k!)\ </math>のとき

@@ Line 161: / Line 161: @@
 ==SIRモデルとパーコレーション==
-SIRモデルはいったん感染すると後はRに移動するだけである。したがって<math>t=\infty</math>における最終結果は各辺について一回ずつ感染か非感染かを評価するパーコレーションと変わらない。
+SIRモデルはいったん感染すると後は R に移動するだけです。したがって <math>t=\infty</math> における最終結果は各辺について一回ずつ感染か非感染かを評価するパーコレーションと変わりません。
-このように、頂点ではなく辺に活性、非活性を割り当てる方式をボンド・パーコレーションと呼ぶ。
+このように、頂点ではなく辺に活性、非活性を割り当てる方式をボンド・パーコレーションと呼びます。

@@ Line 101: / Line 101: @@
 ==SIR model==
-<math>S(t) + I(t) + R(t) = 1</math>　が成立する。
+<math>S(t) + I(t) + R(t) = 1\ </math>　が成立します。
 ===ネットワークを考慮しない場合===
-時間<math>\Delta t</math>の間に感染者は<math>\mu</math>の確率で治癒し、健康人が<math>\lambda I(t)</math>の確率で感染するとする。
+時間 <math>\Delta t</math> の間に感染者は <math>\mu</math> の確率で治癒し、健康人が <math>\lambda I(t)\ </math> の確率で感染するとします。
 <math>
@@ Line 114: / Line 114: @@
 </math>
-十分時間が経過した後の定常状態において十分量の<math>R(t)</math>が生じるためには、初期 (<math>t\sim 0</math>) から次第に病人が増えないと駄目。
+十分時間が経過した後の定常状態において十分量の感染しない健康人 <math>R(t)\ </math> が生じるためには、初期 (<math>t\sim 0\ </math>) は ''I'' が少ないけれども次第に病人が増えて蔓延し、その後終息して ''R'' に変化しないといけません。
 <math>
-\begin{align}
+\frac{d I(0)}{dt} = \lambda S(0) I(0) - \mu I(0) > 0
-\frac{d I(0)}{dt} &= \lambda S(0) I(t) - \mu I(0) > 0 \\
+</math>
-\frac{\lambda}{\mu} &= \frac{1}{S(t= 0)}
-\end{align}
+この式から
 </math>
-つまり感染率<math>\lambda</math>が治癒率<math>\mu</math>を超える場合は病人の割合が増加する。逆の場合は病人が減少する一方になる。
+が重要なポイントです。つまり感染率 <math>\lambda</math> が治癒率 <math>\mu</math> を超える場合は病人の割合が増加し、逆の場合は病人が減少する一方になります。
 SISモデルと同様、今後は一般性を失わずに<math>\mu=1</math>とおく。
@@ Line 129: / Line 132: @@
 ===一般のネットワークの場合===
-次数分布のみを考慮することにし、前出の式を次数''k''に限定して考える。
+次数分布のみを考慮することにし、前出の式を次数 ''k'' に限定して考えます。
 <math>
@@ Line 135: / Line 138: @@
 </math>
-SISモデルとの違いは、いちど感染した頂点がSに戻らずRになる点である。
+SISモデルとの違いは、いちど感染した頂点が S に戻らず R になる点です。
-関数<math>\Theta</math>を求めるには、Sに隣接する頂点がIである割合を考える。
+関数 <math>\Theta\ </math> を求めるには、S に隣接する頂点が  I である割合を考えます。
-ある頂点がIのとき、必ずその頂点を感染させる原因となる頂点(IかR)が存在する。
+ある頂点が I のとき、必ずその頂点を感染させる原因となる頂点 (IかR) がまわりに存在します。
-よって、隣接頂点の次数分布を<math>kp(k)/\langle k \rangle</math>の代わりに、大雑把に<math>(k-1)p(k)/\langle k \rangle</math>と見積もってみる。
+よって、隣接頂点の次数分布を <math>kp(k)/\langle k \rangle\ </math> の代わりに、大雑把に <math>(k-1)p(k)/\langle k \rangle\ </math>と見積もってみます。
-（明らかにSISモデルの感染力 ＞　SIRモデルの感染力なのだが、その差が次数1個分という論理的な必然性はない。）
+（ここで明らかに、SISモデルの感染力 ＞　SIRモデルの感染力ですが、その差が次数1個分という論理的な必然性はありません。少なくとも 1 点は I か R であるという仮定です。）
 <math>
@@ Line 154: / Line 157: @@
 </math>
-ここから、臨界確率<math>\lambda_c = \frac{\langle k \rangle}{\langle k^2 \rangle - \langle k \rangle}</math>となる。SISモデルとSIRモデルは基本的に結果が変わらない。
+ここから、臨界確率<math>\lambda_c = \frac{\langle k \rangle}{\langle k^2 \rangle - \langle k \rangle}</math>となります。
 ==SIRモデルとパーコレーション==

@@ Line 3: / Line 3: @@
 ==コンタクトプロセス==
-感染症モデルでネットワーク構造を考慮したものをコンタクトプロセスと呼ぶ。
+感染症モデルでネットワーク構造を考慮したものをコンタクトプロセスと呼びます。
 それぞれの状態の割合を
 :S&nbsp; susceptible (健康状態)
 :I&nbsp; infected (感染状態)
 :R&nbsp; recovered (治癒状態）
-と書く。<math>S \xrightarrow{\lambda}I \xrightarrow{\mu} S</math>の場合をSISモデルと呼び、<math>S \xrightarrow{\lambda} I \xrightarrow{\mu} R</math>の場合をSIRモデルと呼ぶ。
+と書く。<math>S \xrightarrow{\lambda}I \xrightarrow{\mu} S</math>の場合をSISモデルと呼び、<math>S \xrightarrow{\lambda} I \xrightarrow{\mu} R</math>の場合をSIRモデルと呼びます。
 ==SIS model==

@@ Line 11: / Line 11: @@
 ==SIS model==
-<math>S(t) + I(t) = 1</math>
+感染者 (infected) の割合を <math> I(t)\ </math>, 健康人 (susceptible) の割合を <math>S(t)\ </math> で表します。
 ===ネットワークを考慮しない場合===
-時間<math>\delta t</math>の間に感染者は<math>\mu</math>の確率で治癒し、健康人が<math>\lambda I(t)</math>の確率で感染するとする。
+時間<math>\delta t</math>の間に感染者は治癒率 <math>\mu</math> で治癒し、健康人が感染率 <math>\lambda\ I(t)</math> で感染するとします。
 <math>
@@ Line 29: / Line 31: @@
 </math>
-つまり感染率<math>\lambda</math>が治癒率<math>\mu</math>を超える場合は健康人の割合が減少し（病人が必ず残る）、感染率のほうが小さい場合は<math>S(t= \infty) < 1</math>のために病人はゼロになる。
+つまり感染率<math>\lambda</math>が治癒率<math>\mu</math>を超える場合は健康人の割合が減少し（病人が必ず残る）、感染率のほうが小さい場合は<math>S(t= \infty) < 1</math>のために病人はゼロになります。
-また<math>\lambda</math>と<math>\mu</math>は定数倍すれば片方を消せるので、今後は一般性を失わずに<math>\mu=1</math>とおく。
+以降、<math>\lambda</math>と<math>\mu</math>は定数倍（正規化）すれば片方を消せるので、一般性を失わずに<math>\mu=1</math>とおきます。
 ===一般のネットワークの場合===
-次数分布のみを考慮することにし、前出の式を次数''k''に限定して考える。
+次数分布のみを考慮することにし、前出の式を次数 ''k'' に限定して考えましょう。次数 ''k'' の頂点たちの中における感染者数は
 <math>
@@ Line 41: / Line 44: @@
 </math>
-ここで<math>\Theta(t)</math>は、次数''k''の健康人が接続する先（1本あたり）が感染者である期待値を示す。定常状態のとき、<math>d I_k(\infty) / dt =0</math>であるから
+ここで<math>\Theta(t)\ </math>は、辺の接続先に感染者がいる期待値です。定常状態のとき、<math>d I_k(\infty) / dt =0</math>なので感染者の割合は
 <math>
@@ Line 47: / Line 50: @@
 </math>
-<math>\Theta(t)</math>は、次数''k''の頂点から出る辺が接続する先が感染者である確率を示していた。
+ここで、定常状態における <math>\Theta(\infty)\ </math> を求めましょう。
-辺が接続する先の頂点の次数分布は<math>k p(k)/\langle k \rangle</math>であるから
+次数 ''k'' の頂点から出る辺の先にある頂点の次数分布は<math>k p(k)/\langle k \rangle</math>ですから
 <math>\textstyle
 \begin{align}
-\Theta(\infty) &= \frac{1}{\langle k \rangle} \sum_{j} j p(j) I_k (\infty) \\
+\Theta(\infty) &= \frac{1}{\langle k \rangle} \sum_{j} j p(j) I_j (\infty) \\
 &= \frac{1}{\langle k \rangle} \sum_{j} j p(j) \frac{\lambda j \Theta(\infty)}{1 + \lambda j \Theta(\infty)}
 \end{align}
 </math>
-これを<math>\Theta</math>について閉じた式にできれば感染率<math>\lambda</math>に対する感染者の期待値を解析的に求められるが、それは容易ではない。ここで求めたいのは臨界値を与える<math>\lambda</math>だと考えて、右辺と左辺の関係を考える。
+これを<math>\Theta\ </math>について閉じた式にできれば感染率 <math>\lambda</math> に対する感染者の期待値を解析的に求められますが、容易ではありません。ここで求めたいのは臨界値を与える <math>\lambda</math> だと考えて、右辺と左辺の関係に注目します。
 <math>
@@ Line 66: / Line 69: @@
 </math>
-という連立方程式の解<math>\Theta</math>を考えよう。下の曲線は<math>0 \leq \Theta \leq 1</math>で定義され、<math>\theta = 0</math>が解の一つである。また<math>\Theta=1</math>のときに<math>y_2 < 1</math>となり単調増加でもある。
+という連立方程式の解<math>\Theta\ </math>を考えます。下の曲線は<math>0 \leq \Theta \leq 1</math>で定義され、<math>\theta = 0
 <math>
@@ Line 72: / Line 76: @@
 </math>
-よって連立方程式が<math>\theta = 0</math>以外にも解を持つかどうかの分岐点は
+この曲線と、<math> y_1 = \Theta\ </math> という曲線の交点が（存在するなら）もう一つの解になります。
 <math>
@@ Line 78: / Line 83: @@
 </math>
-ここから、臨界確率<math>\lambda_c = \frac{\langle k \rangle}{\langle k^2 \rangle}</math>となる。
+ここから、臨界確率<math>\lambda_c = \frac{\langle k \rangle}{\langle k^2 \rangle}</math>が導かれます。
 ===具体例===
-;次数分布がポアソン分布
+;次数分布がポアソン分布の場合
-<math>p(k) = e^{- \lambda} (\lambda^k/k!)</math>のとき
+<math>p(k) = e^{- \lambda} (\lambda^k/k!)\ </math>のとき
 <math>\lambda_c = \frac{\lambda}{\lambda^2 + \lambda} = \frac{1}{\lambda + 1}</math>
-;次数分布が指数分布
+;次数分布が指数分布の場合
-<math>p(k) = \lambda e^{- \lambda k}</math>のとき
+<math>p(k) = \lambda e^{- \lambda k}\ </math>のとき
 <math>\lambda_c = \frac{\lambda^2}{2 \lambda} = \lambda / 2</math>
 ==SIR model==