Aritalab:Lecture/NetworkBiology/BirthDeath/Continuous - Revision history

Adm: /* λ と μ が定数の場合 */

2012-02-02T02:49:50Z

‎λ と μ が定数の場合

2012-02-02T02:48:10Z

‎λ と μ が定数の場合

2012-02-02T02:40:51Z

‎λ と μ が定数の場合

2012-02-02T02:39:15Z

‎定常分布の一意性

2012-02-02T02:30:34Z

‎定常分布の一意性

2012-02-02T02:17:17Z

‎純死亡過程: λ = 0, μi = i μ

2012-02-02T02:13:57Z

‎Yule過程: λi = iλ, μ = 0

2012-02-02T02:13:13Z

‎ポアソン過程 λi =λ, μ = 0

2012-02-02T02:10:14Z

2012-02-02T02:09:44Z

‎ポアソン過程 λi =λ, μ = 0

@@ Line 139: / Line 139: @@
 全ての状態において &lambda;, &mu; が固定値の場合、定常分布は
 :<math>\pi_i = \Big( 1 - \frac{\lambda}{\mu} \Big)\Big( \frac{\lambda}{\mu} \Big)^i \ \ (i \geq 0)</math>
-となります（幾何分布）。定常分布の平均値が平均人口にあたります。
+となります（幾何分布）。人口が発散しないためには &lambda; < &mu; であることが重要です。定常分布の平均値が平均人口にあたります。
 :<math>C = \frac{\lambda/\mu}{1 - \lambda/\mu} = \frac{\lambda}{\mu - \lambda}</math>
 人口の増加率 (&lambda;) で平均人口を割れば平均寿命になります。

@@ Line 139: / Line 139: @@
 全ての状態において &lambda;, &mu; が固定値の場合、定常分布は
 :<math>\pi_i = \Big( 1 - \frac{\lambda}{\mu} \Big)\Big( \frac{\lambda}{\mu} \Big)^i \ \ (i \geq 0)</math>
-となります。定常分布の平均値が平均人口にあたります。
+となります（幾何分布）。定常分布の平均値が平均人口にあたります。
 :<math>C = \frac{\lambda/\mu}{1 - \lambda/\mu} = \frac{\lambda}{\mu - \lambda}</math>
 人口の増加率 (&lambda;) で平均人口を割れば平均寿命になります。

@@ Line 138: / Line 138: @@
 ===&lambda; と &mu; が定数の場合===
 全ての状態において &lambda;, &mu; が固定値の場合、定常分布は
-:<math>\pi_i = \Big( 1 - \frac{\lambda}{\mu} \Big)\Big( \frac{\lambda}{\mu} \Big)^i</math>
+:<math>\pi_i = \Big( 1 - \frac{\lambda}{\mu} \Big)\Big( \frac{\lambda}{\mu} \Big)^i \ \ (i \geq 0)</math>
 となります。定常分布の平均値が平均人口にあたります。
 :<math>C = \frac{\lambda/\mu}{1 - \lambda/\mu} = \frac{\lambda}{\mu - \lambda}</math>

@@ Line 101: / Line 101: @@
 :<math>
 \begin{align}
-\pi_i &= \frac{\lambda_0\lambda_1\lambda_2 \cdots \lambda_{i-1}}{\mu_1\mu_2\cdots \mu_i} \pi_0 \ (i = 1, 2, \cdots) \\
+\pi_i &= \frac{\lambda_0\lambda_1\ \cdots \lambda_{i-1}}{\mu_1\mu_2\cdots \mu_i} \pi_0 \ (i = 1, 2, \cdots) \\
-\pi_0 &= \frac{1}{1 + \sum^{\infty}_{i=1}\frac{\lambda_0\lambda_1\lambda_2 \cdots \lambda_{i-1}}{\mu_1\mu_2\cdots \mu_i} }
+\pi_0 &= \frac{1}{1 + \sum^{\infty}_{i=1}\frac{\lambda_0\lambda_1 \cdots \lambda_{i-1}}{\mu_1\mu_2\cdots \mu_i} }
 \end{align}
 </math>

@@ Line 135: / Line 135: @@
 :<math>\textstyle \sum^{\infty}_{i=1}\frac{\lambda_0\lambda_1 \cdots \lambda_{i-1}}{\mu_1\mu_2\cdots \mu_i} < \infty </math>
 の成立が必要で、これは出生率が死亡率よりも少ないことを意味します。
 ==様々な出生死亡過程==

@@ Line 248: / Line 248: @@
 :<math>
 \begin{align}
-p_i(t) = \binom{N}{i}e^{-\mu t i}(1 - e^{- mu t})^{N - i}
+p_i(t) = \binom{N}{i}e^{-\mu t i}(1 - e^{- \mu t})^{N - i}
 \end{align}
 </math>

@@ Line 208: / Line 208: @@
 p_1(t) &= e^{\lambda t} \\
 p_2(t) &= e^{\lambda t} (1 - e^{-\lambda t}) \\
-\vdots & vdots \\
+\vdots &= \vdots \\
 p_i(t) &= e^{\lambda t} (1 - e^{-\lambda t})^{i-1}
 \end{align}

@@ Line 170: / Line 170: @@
 p_1(t) &= \lambda t e^{-\lambda t}\\
 p_2(t) &= (\lambda t)^2 \frac{e^{-\lambda t}}{2!}\\
-\vdots & \vdots \\
+\vdots &= \vdots \\
 p_i(t) &= (\lambda t)^i \frac{e^{-\lambda t}}{i!}
 \end{align}

@@ Line 163: / Line 163: @@
 \end{align}
 </math>
-X(0) = 0 とします。時刻 0 で状態 0 の確率が 1 なので<math>p_0(0) = 1</math>。これを解いて <math>p_0(t) = e^{-\lambda t}</math>
+X(0) = 0 とします。時刻 0 で状態 0 の確率が 1 なので<math>p_0(0) = 1</math>。これを解いて <math>\textstyle p_0(t) = e^{-\lambda t}</math>
 ここから順次計算して