Aritalab:Lecture/Math/Ideal - Revision history

Adm: /* ディクソンの補題 */

2012-08-06T05:51:40Z

‎ディクソンの補題

Adm at 00:29, 6 August 2012

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Adm: Created page with "==イデアル== ====イデアルの定義==== 部分集合 I ⊂ k[ x₁, ... , x_n ] がイデアルであるとは # 0 ∈ I # f, g ∈ I ならば ..."

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Created page with "==イデアル== ====イデアルの定義==== 部分集合 I ⊂ k[ x1, ... , xn ] がイデアルであるとは # 0 ∈ I # f, g ∈ I ならば ..."

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==イデアル==
====イデアルの定義====
部分集合 I ⊂ k[ x1, ... , xn ] がイデアルであるとは
# 0 ∈ I
# f, g ∈ I ならば f + g ∈ I
# f ∈ I かつ h ∈ k[ x1, ... , xn ] ならば hf ∈ I
を全て満たす場合をいう。

f1, ... , fs を多項式の集合 k[ x1, ... , xn ] に含まれる式とする。
< f1, ... , fs > = <big>Σ</big>si=1 hifi : hi ∈ k[ x1, ... , xn ] と定義すれば、これは f1, ... , fs により生成されるイデアルである。

;証明
: < f1, ... , fs > は多項式集合に含まれる要素と f1, ... , fs との線形和である。零元を含み、和と積について閉じているのはあたりまえ。

逆に任意のイデアル I について I = < f1, ... , fs > となる多項式 f1, ... , fs を用意することができ、これを I の基底という。同じイデアルは多くの異なる基底を持ちうるが、それらの張るアフィン多様体は一致する。

;例
: < 2 x2 + 3 y2 - 11 , x2 - y2 - 3 > = < x2 - 4, y2 - 1 > を示そう。
前者における２つの式からまず x2 を消去すると y2 - 1 = 0 が得られる。また y2 を消去すると x2 - 4 = 0 が得られる。つまり < x2 - 4, y2 - 1 > となる。

アフィン多様体 V に対し I(V) = { f ∈ k[ x1, ... , xn ] : ∀ (a1, ... , an) ∈ V, f(a1, ... , an) = 0 } とおくと I(V) はイデアルになる。これを V のイデアルと呼ぶ。

;証明
: I(V) は零元を含んでる。また f, g ∈ I(V) と仮定したとき、 f + g も 0 になるし 0 に h ∈ k[ x1, ... , xn ] をかけても 0 なのでイデアルになる。

;例
: k2 の原点のみからなる多様体 { (0,0) } のイデアルは原点で消える全ての多項式からなるので I( { (0,0) } ) = <x,y>.
: kn 全体からなる多様体のイデアルは、至るところで消える多項式からなるので I(kn) = { 0 }.
: よじれ3次曲線 V(y - x2, z - x3) からなる多様体のイデアルは < y - x2, z - x3 >.

ただし、多項式 f1, ... , fs からなる多様体のイデアルが常に < f1, ... , fs > とは限らない。通常は < f1, ... , fs > ⊂ I ( V(f1, ... , fs) ) となる。

;例
: x2, y2 からなる多様体は x2 = 0, y2 = 0 より原点のみである。そのイデアルは <x,y> であり、<x2, y2> よりも真に大きい。

一般に２つのアフィン多様体 V, W が与えられたとき
* V ⊂ W と I(V) ⊃ I(W) は同値
* V = W と I(V) = I(W) は同値
となる。イデアルは多様体の基底となる制約を意味するため、より範囲の大きな多様体の制約（イデアル）は小さくなる。

今後、以下の問を考えていく。
# 任意のイデアルは多項式の集合 f1, ... , fs を用いて < f1, ... , fs > と書けるか？
#

@@ Line 76: / Line 76: @@
 次に、y<sup>M</sup> に対して以下のイデアルを順次構成する。
-# M=0のとき x<sup>&alpha;(0)</sup>, x<sup>&alpha;(1)</sup>, ... , x<sup>&alpha;(s<sub>0</sub>)</sup> という有限個の基底が帰納法の仮定により存在
+# M=0のとき x<sup>&alpha;<sub>0</sub>(0)</sup>, ... , x<sup>&alpha;<sub>0</sub>(s<sub>0</sub>)</sup> という有限個の基底が帰納法の仮定により存在
-# M=1のとき x<sup>&alpha;(0)</sup>y, x<sup>&alpha;(1)</sup>y, ... , x<sup>&alpha;(s<sub>0</sub>)</sup>y という有限個の基底が帰納法の仮定により存在
+# M=1のとき x<sup>&alpha;<sub>1</sub>(0)</sup>y, ... , x<sup>&alpha;<sub>1</sub>(s<sub>1</sub>)</sup>y という有限個の基底が帰納法の仮定により存在
 # ...
-# M=m-1のとき x<sup>&alpha;(0)</sup>y<sup>m-1</sup>, x<sup>&alpha;(1)</sup>y<sup>m-1</sup>, ... , x<sup>&alpha;(s<sub>0</sub>)</su>y<sup>m-1</sup> という有限個の基底が帰納法の仮定により存在
+# M=m-1のとき x<sup>&alpha;<sub>m-1</sub>(0)</sup>y<sup>m-1</sup>, ... , x<sup>&alpha;<sub>m-1</sub>(s<sub>m-1</sub>)</sup>y<sup>m-1</sup> という有限個の基底が帰納法の仮定により存在
 I に含まれる全ての単項式は上記の基底のいずれかで割り切れるため、上の各生成元も I に属している。こうして得られる元の集合は、A の有限部分集合になっている。
-具体例を見てみる。たとえば I = < x<sup>4</sup>y<sup>2</sup>, x<sup>3</sup>y<sup>4</sup>, x<sup>2</sup>y<sup>5</sup> > を考える。ここで x の指数は 2 以上であるため y を減らした際のイデアル J = < x<sup>2</sup> > となる。また m = 5 となる。m の数に従うスライスは
+具体例を見てみる。たとえば I = < x<sup>4</sup>y<sup>2</sup>, x<sup>3</sup>y<sup>4</sup>, x<sup>2</sup>y<sup>5</sup> > を考える。ここで x の指数は 2 以上であるため y を減らした際のイデアルは J = < x<sup>2</sup> > となる。また y の係数から m = 5 となる。m の数に従うスライスは
-# m = 0, m = 1 のとき { 0 }
+# m = 0, 1, 3 のとき { 0 }
-# m = 2, m = 3 のとき < x<sup>4</sup> >
+# m = 2 のとき < x<sup>4</sup> >
 # m = 4 のとき < x<sup>3</sup> >
-これらをあわせると I = < x<sup>2</sup>y<sup>5</sup>, x<sup>4</sup>y<sup>2</sup>, x<sup>4</sup>y<sup>3</sup>, x<sup>3</sup>y<sup>4</sup> > となる。
+これらをあわせると I = < x<sup>2</sup>y<sup>5</sup>, x<sup>4</sup>y<sup>2</sup>, x<sup>3</sup>y<sup>4</sup> > となる。

@@ Line 53: / Line 53: @@
 となる。イデアルは多様体の基底となる制約を意味するため、より範囲の大きな多様体の制約（イデアル）は小さくなる。
-今後、以下の問を明らかにする。
+====単項式イデアルの定義====
-# 記述：　任意のイデアルは多項式の集合 f<sub>1</sub>, ... , f<sub>s</sub> を用いて < f<sub>1</sub>, ... , f<sub>s</sub> > と書けるか？
+イデアル I &isin; k[x<sub>1</sub>, ... , x<sub>n</sub>] が単項式の和として表せる多項式全体からなるとき (&sum;<sub>&alpha;&isin;A</sub>h<sub>&alpha;</sub>x<sup>&alpha;</sup>)、単項式イデアル (monomial ideal) といい、 I = < x<sup>&alpha;</sup>: &alpha; &isin; A> と書く。
-# 所属：　多項式の集合 f<sub>1</sub>, ... , f<sub>s</sub> に対し、もう一つ多項式 f を与えられたら f が < f<sub>1</sub>, ... , f<sub>s</sub> > に属すか決定するアルゴリズムはあるか？
-# 零点定理： 多項式の集合に対し、< f<sub>1</sub>, ... , f<sub>s</sub> > と I( V( f<sub>1</sub>, ... , f<sub>s</sub> ) ) の関係は？
+;補題

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Line 1:		Line 1:
		+	==アフィン多様体==
		+	====アフィン多様体の定義====
		+	体 k を係数とする多項式 f<sub>1</sub>, ... , f<sub>s</sub> ∈ k[ x<sub>1</sub>, ... , x<sub>n</sub> ] に対するアフィン多様体を
		+	V( f<sub>1</sub>, ... , f<sub>s</sub> ) = { (a<sub>1</sub>, ... , a<sub>n</sub>) ∈ k<sup>2</sup> : ∀i f<sub>i</sub>( a<sub>1</sub>, ... , a<sub>n</sub> ) = 0
		+	と定義する。アフィン多様体は滑らかでない点をもつ場合があり、特異点 (singular point) と呼ばれる。
		+
		+	* 多項式の個数が多様体の次元をきめるとは限らない。例えば 3 次元空間における多様体 V(xz, yz) は xz = yz = 0 から (x,y) 平面全体と z 軸全体を意味する。
		+	* m元連立一次方程式の解はアフィン多様体である（線形多様体という）。その次元は体 k の次元 n から方程式を表現する行列のランクを引いたもの。
		+
		+	２つのアフィン多様体が V = V(f<sub>1</sub>, ... , f<sub>s</sub>), W = V(g<sub>1</sub>, ... , g<sub>t</sub>) とあらわされるとき
		+	:V ∩ W = V(f<sub>1</sub>, ... , f<sub>s</sub>, g<sub>1</sub>, ... , g<sub>t</sub>)
		+	:V ∪ W = V( f<sub>i</sub>g<sub>i</sub> : 1 ≦ i ≦ s, 1 ≦ j ≦ t)
		+	となる。
		+
	==イデアル==		==イデアル==
	====イデアルの定義====		====イデアルの定義====