Aritalab:Lecture/Math/Function - Revision history

Adm: /* ベータ関数 */

2011-07-20T12:26:04Z

‎ベータ関数

Adm: /* ガンマ関数 */

2011-07-20T12:25:17Z

‎ガンマ関数

Adm: /* ガンマ関数 */

2011-07-20T12:24:23Z

‎ガンマ関数

Adm: /* ガンマ関数 */

2011-07-20T12:23:30Z

‎ガンマ関数

Adm: /* ガンマ関数 */

2011-07-20T12:22:39Z

‎ガンマ関数

Adm: Created page with "==ガンマ関数== $\Gamma(z) = \int^\infty_0 e^{-t} t^{z-1} dt$ は階乗の一般化で $\Gamma(z+1) = z \Gamma(z)\,$ を満たす。''z'' が正..."

2011-07-20T12:05:33Z

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==ガンマ関数==

<math>
\Gamma(z) = \int^\infty_0 e^{-t} t^{z-1} dt
</math>

は階乗の一般化で <math> \Gamma(z+1) = z \Gamma(z)\, </math> を満たす。''z'' が正の整数の場合は
<math>\Gamma(z + 1) = z!\,</math>。

;例
:<math>\Gamma(1) = 1\,</math>
:<math>\Gamma(1/2) = \sqrt{\pi}\,</math>
:<math>\Gamma(3/2) = \sqrt{\pi}/2\,</math>
:<math>\Gamma(z+1/2) = \frac{(2n)!}{2^{2n}n!}\sqrt{\pi}</math>

;近似
:<math>\Gamma(z+1) = z! \sim \sqrt{2\pi z} e^{-z}z^z </math> Stirling の公式

==ベータ関数==
<math>
\Beta(x,y) = \int^1_0 t^{x-1} (1-t)^{y-1} dt
</math>

;例
:<math>\Beta(x,y) = \Beta(y,x)\,</math>
:<math>\Beta(x,y) = \frac{x+y}{y} \Beta(x,y+1)\,</math>
:<math>\Beta(x,y) = \frac{\Gamma(x) \Gamma(y)}{\Gamma(x + y)}</math>
:<math>\Beta(\frac{1}{2},\frac{1}{2}) = \pi\,</math>

@@ Line 14: / Line 14: @@
 :<math>\Gamma(z+1/2) = \frac{(2n)!}{2^{2n}n!}\sqrt{\pi}</math>
-;Stirling の公式
+;Stirling の近似
-:<math>\Gamma(z+1) = z! \sim \sqrt{2\pi z} (\frac{z}{e})^z </math>
+:<math>\Gamma(z+1) = z! \sim \sqrt{2\pi z} \Big(\frac{z}{e}\Big)^z </math>
 ==ベータ関数==

@@ Line 15: / Line 15: @@
 ;Stirling の公式
-:<math>\Gamma(z+1) = z! \sim \sqrt{2\pi z} e^{-z}z^z </math>
+:<math>\Gamma(z+1) = z! \sim \sqrt{2\pi z} (\frac{z}{e})^z </math>
 ==ベータ関数==

@@ Line 26: / Line 26: @@
 :<math>\Beta(x,y) = \frac{x+y}{y} \Beta(x,y+1)\,</math>
 :<math>\Beta(x,y) = \frac{\Gamma(x) \Gamma(y)}{\Gamma(x + y)}</math>
-:<math>\Beta(\frac{1}{2},\frac{1}{2}) = \pi\,</math>
+:<math>\textstyle \Beta(\frac{1}{2},\frac{1}{2}) = \pi\,</math>

@@ Line 6: / Line 6: @@
 は階乗の一般化で <math> \Gamma(z+1) = z \Gamma(z)\, </math> を満たす。''z'' が正の整数の場合は
-<math>\Gamma(z + 1) = z!\,</math>。
+<math>\Gamma(z + 1) = z!\,</math>
 ;例
@@ Line 16: / Line 16: @@
 ;近似
 :<math>\Gamma(z+1) = z! \sim \sqrt{2\pi z} e^{-z}z^z </math> Stirling の公式
 ==ベータ関数==

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