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2013-04-08T15:02:54Z

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==安定性解析==

一般的な微分方程式系を考えます。

:<math>\begin{align}
\frac{dx}{dt} &= f(x, y)\\
\frac{dy}{dt} &= g(x, y)
\end{align}</math>

定常状態を (x*, y*) とし、そこから少しずれた位置の挙動を調べます。それには (x* + u, y* + v) とした差分 u , v をテイラー展開します。ずれが微小であることから2次以上の部分は無視します。

:<math>\begin{align}
\frac{du}{dt} &= f(x^* + u, y^* + v) = f(x^*, y^*) + f_x(x^*, y^*)u + f_y(x^*, y^*)v + \cdots \\
\frac{dv}{dt} &= g(x^* + u, y^* + v) = g(x^*, y^*) + g_x(x^*, y^*)u + g_y(x^*, y^*)v + \cdots
\end{align}</math>

これを行列の形に書くと

:<math>\frac{d}{dt}\begin{bmatrix} u \\ v \end{bmatrix}
= \begin{bmatrix} f_x & f_y \\ g_x & g_y \end{bmatrix} \begin{bmatrix} u \\ v \end{bmatrix}
= J \begin{bmatrix} u \\ v \end{bmatrix}
</math>

ここで行列 J をヤコビ行列といいます。

==ヤコビ行列==

線形微分方程式はヤコビ行列 J の固有値 λ1, λ2 を用いた解があります。

: λ1 ≠ λ2 のとき
:<math>\begin{bmatrix} u \\ v \end{bmatrix}
= \begin{bmatrix} c_{11} \\ c_{21} \end{bmatrix} \exp(\lambda_1 t) +
\begin{bmatrix} c_{12} \\ c_{22} \end{bmatrix} \exp(\lambda_2 t)
</math>

: λ1 ＝ λ2 ＝ λ のとき
:<math>\begin{bmatrix} u \\ v \end{bmatrix}
= \begin{bmatrix} c_{11} \\ c_{21} \end{bmatrix} \exp(\lambda t) +
\begin{bmatrix} c_{12} \\ c_{22} \end{bmatrix} t \exp(\lambda t)
</math>

いずれの場合でも以下の議論は同じなため、一緒に扱いましょう。
固有値が実数の時、λ1 < 0, λ2 < 0 であれば、平衡点からの差分 u , v は時間とともに 0 に収束します。どちらかでも正であれば、差分は発散します（つまり線形近似は成り立たなくなります）。
固有値が複素数の時、２つの固有値は複素共役になり λ1, λ2 = a ± i b です。虚数の exp は絶対値が 1 になることを利用して
:<math>\lim_{t \rightarrow \infty}| \exp(a \pm ib)t | = \lim_{t \rightarrow \infty} \exp(at) \times | \exp(\pm ibt) | = \lim_{t \rightarrow \infty} \exp(at) </math>
ですから、固有値の実部が共に負であれば、平衡点からの差分はやはり 0 に収束することがわかります。
この議論は多元連立の場合もそのまま成立します。

まとめると、
* 固有値の実部が全て負であれば、平衡点は局所安定
* 固有値の実部が一つでも正であれば、平衡点は不安定
** 全て正の時は全方向に発散する不安定点 (unstable node)
** 正と負が両方ある場合、方向によって一部収束する鞍点 (saddle node)
となります。固有値が複素数の時は近傍で周期的な挙動（スパイラル）をみせながら収束（安定フォーカス）または発散（不安定フォーカス）します。

===Routh-Hurwitz 条件===
2 x 2 行列 <math>A = \begin{bmatrix} a & b\\ c & d\end{bmatrix}</math> の固有値実部が負であるための必要十分条件は tr(A) = a + d < 0 かつ det(A) = ad - bc > 0 になります。<ref>2 x 2行列の固有値は λ2 - (a + d) λ + (ad - bc) = 0 という二次方程式の根になります。</ref>

<references/>

Aritalab:Lecture/Bioinformatics/Stability - Revision history

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