Aritalab:Lecture/Basic/Inequality - Revision history

Adm: /* 一様分布 */

2010-07-08T01:10:31Z

‎一様分布

Adm: /* MarkovとChebyshevの違い */

2010-07-08T00:46:25Z

‎MarkovとChebyshevの違い

Adm: /* 例1 */

2010-07-07T14:12:58Z

‎例1

Adm at 13:15, 7 July 2010

2010-07-07T13:15:15Z

Adm: New page: ==分散とモーメント== ;[定義] '''E'''[ $X^k$ ] を確率変数 ''X'' の ''k''　次モーメントと呼ぶ。 ;[定義] 確率変数 ''X'' の分散は : $\mathbf{...$

2010-07-07T12:27:24Z

New page: ==分散とモーメント== ;[定義] '''E'''[<math>X^k</math>] を確率変数 ''X'' の ''k''　次モーメントと呼ぶ。 ;[定義] 確率変数 ''X'' の分散は : <math>\mathbf{...

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==分散とモーメント==
;[定義] '''E'''[<math>X^k</math>] を確率変数 ''X'' の ''k''　次モーメントと呼ぶ。
;[定義] 確率変数 ''X'' の分散は
: <math>\mathbf{Var}[X] = \mathbf{E}[(X-\mathbf{E}[X])^2] = \mathbf{E}[X^2] - (E[X])^2</math>
;[定義]　確率変数 ''X'' の標準偏差 <math>\sigma</math>　は
: <math>\sigma[X] = \sqrt{\mathbf{Var}[X]}

==Markovの不等式==
確率変数 ''X'' と ''a'' > 0 に対し

:<math>\textstyle \mbox{Pr}(|X| \geq a) \leq \mathbf{E}[|X|]/a</math>

をマルコフの不等式と呼ぶ。証明は随所に見られるので省略する。

;具体例
* 確率　1/''k'' で ''k'' '''E'''[''X''] をとり、確率 (1- 1/''k'') で 0　をとる確率変数を考える。このときマルコフの不等式は <math>\textstyle \mbox{Pr}(X \geq k\mathbf{E}[X] ) = 1/k</math>　という等号が成立しており、不等式が十分「きつい」ものであることがわかる。

==Chebyshevの不等式==
確率変数 ''X'' と ''a'' > 0 に対し

:<math>\textstyle \mbox{Pr}(|X - \mathbf{E}[X]| \geq a) \leq \mathbf{Var}[X]/a^2</math>

をチェビシェフの不等式と呼ぶ。証明には、<math>\mbox{Pr}(|X - \mathbf{E}[X]| \geq a) = \mbox{Pr}(|X - \mathbf{E}[X]|^2 \geq a^2)</math> に対してマルコフの不等式を適用する。

;具体例
* マルコフの不等式において等号を成り立たせた確率分布を考える。チェビシェフの不等式では <math>\textstyle \mbox{Pr}(|X - \mathbf{E}[X]| \geq a) = </math>

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 ==MarkovとChebyshevの違い==
-===一様分布===
+===変形した一様分布===
-正の整数 ''k'' に対し、確率　1/''k'' で ''k'' '''E'''[''X''] をとり、確率 (1- 1/''k'') で 0　をとる確率変数 ''X'' を考える。 このときマルコフの不等式は <math>\mbox{Pr}(X \geq k\mathbf{E}[X] ) \leq 1/k</math>　となるが、定義より <math>\mbox{Pr}(X = k\mathbf{E}[X])=1/k</math> なので等号が成立する。つまり不等式が十分「きつい」例になっている。
+正の整数 ''k'' に対し、確率　1/''k'' で ''k'' '''E'''[''X''] をとり、確率 (1- 1/''k'') で 0　をとる確率変数 ''X'' を考えよう。 このときマルコフの不等式は <math>\mbox{Pr}(X \geq k\mathbf{E}[X] ) \leq 1/k</math>　となるが、定義より <math>\mbox{Pr}(X = k\mathbf{E}[X])=1/k</math> なので等号が成立する。つまりマルコフの不等式が十分「きつい」例になっている。
-この分布の分散は <math>\textstyle \frac{k^2}{k}(\mathbf{E}[X])^2 - (\mathbf{E}[X])^2 = (k-1)(\mathbf{E}[X])^2</math> となる。チェビシェフの不等式は <math>\textstyle \mbox{Pr}(|X - \mathbf{E}[X]| \geq k\mathbf{E}[X]) \leq (k-1)/k^2</math> を与える。
+この分布の分散は

@@ Line 24: / Line 24: @@
 ==MarkovとChebyshevの違い==
-===例1===
+===一様分布===
 正の整数 ''k'' に対し、確率　1/''k'' で ''k'' '''E'''[''X''] をとり、確率 (1- 1/''k'') で 0　をとる確率変数 ''X'' を考える。 このときマルコフの不等式は <math>\mbox{Pr}(X \geq k\mathbf{E}[X] ) \leq 1/k</math>　となるが、定義より <math>\mbox{Pr}(X = k\mathbf{E}[X])=1/k</math> なので等号が成立する。つまり不等式が十分「きつい」例になっている。
 この分布の分散は <math>\textstyle \frac{k^2}{k}(\mathbf{E}[X])^2 - (\mathbf{E}[X])^2 = (k-1)(\mathbf{E}[X])^2</math> となる。チェビシェフの不等式は <math>\textstyle \mbox{Pr}(|X - \mathbf{E}[X]| \geq k\mathbf{E}[X]) \leq (k-1)/k^2</math> を与える。

@@ Line 25: / Line 25: @@
 ==MarkovとChebyshevの違い==
 ===例1===
-確率　1/''k'' で ''k'' '''E'''[''X''] をとり、確率 (1- 1/''k'') で 0　をとる確率変数 ''X'' を考える。 このときマルコフの不等式は <math>\textstyle \mbox{Pr}(X \geq k\mathbf{E}[X] ) = 1/k</math>　という等号が成立しており、不等式が十分「きつい」ものであることがわかる。
+正の整数 ''k'' に対し、確率　1/''k'' で ''k'' '''E'''[''X''] をとり、確率 (1- 1/''k'') で 0　をとる確率変数 ''X'' を考える。 このときマルコフの不等式は <math>\mbox{Pr}(X \geq k\mathbf{E}[X] ) \leq 1/k</math>　となるが、定義より <math>\mbox{Pr}(X = k\mathbf{E}[X])=1/k</math> なので等号が成立する。つまり不等式が十分「きつい」例になっている。
 この分布の分散は <math>\textstyle \frac{k^2}{k}(\mathbf{E}[X])^2 - (\mathbf{E}[X])^2 = (k-1)(\mathbf{E}[X])^2</math> となる。チェビシェフの不等式は <math>\textstyle \mbox{Pr}(|X - \mathbf{E}[X]| \geq k\mathbf{E}[X]) \leq (k-1)/k^2</math> を与える。