Aritalab:Lecture/Basic/Expectation - Revision history

Adm: /* 重要な性質 */

2017-08-22T00:43:12Z

‎重要な性質

Adm: /* 分散 */

2017-08-22T00:02:02Z

‎分散

Adm: /* 定義 */

2012-04-24T07:31:03Z

‎定義

Adm: /* 定義 */

2012-04-24T07:26:39Z

‎定義

Adm: /* 定義 */

2012-04-24T07:25:12Z

‎定義

Adm: /* 定義 */

2012-04-24T07:22:15Z

‎定義

Adm: /* 相関 */

2012-04-24T07:21:03Z

‎相関

Adm at 05:50, 24 April 2012

2012-04-24T05:50:37Z

Adm at 06:34, 24 May 2011

2011-05-24T06:34:08Z

Adm at 05:35, 19 May 2011

2011-05-19T05:35:21Z

@@ Line 70: / Line 70: @@
 V[nX] &=  E[(nX)^2] - E[nX]^2\\
   &= n^2E[X^2] - n^2E[X]^2\\
-  &= n^2 V[X]
+  &= n^2 V[X]\\
 \end{alignat}
 </math>
-;V[X+Y] = V[X] + V[Y] (ただし X,Y は独立)
+ただし X,Y は独立とし、そうでない場合には V[X+Y] > V[X] + V[Y] です。この差分を共分散 (covariance) と呼びます（V[X+Y] = V[X] + V[Y] + 2Cov[X,Y]）。
-−
-X,Y が独立であれば、和の分散は分散の和に等しくなります。しかし独立でない場合には V[X+Y] > V[X] + V[Y] です。この差分を共分散 (covariance) と呼びます（V[X+Y] = V[X] + V[Y] + 2Cov[X,Y]）。
 :例.　2個のサイコロの和の分散と、サイコロの目の2倍の分散

@@ Line 39: / Line 39: @@
 ==分散==
 ===定義===
 ; V[X] = E[ (X - E[X])<sup>2</sup> ] = E[ X<sup>2</sup> ] -(E[X])<sup>2</sup>
-確率変数（例えばサイコロ）がとる値のばらつきの度合いを分散といいます。　分散は英語で variance なので V[確率変数] と書きます。定義における二つ目の等式は以下のようにして成立します。
+定義における二つ目の等式は以下のようにして成立します。
 <math>\textstyle
@@ Line 54: / Line 55: @@
 </math>
-:例.　フェアなサイコロの分散
+:例.　フェアなサイコロの分散 (サイコロの目の平均値は 3.5)
-: V[サイコロ] = <math>((1-3.5)^2+(2-3.5)^2+(3-3.5)^2+(4-3.5)^2+(5-3.5)^2+(6-3.5)^2)/6</math> = 35/12 (≒ 2.916)
 ===重要な性質===
 : <math>
 \begin{alignat}{2}
@@ Line 68: / Line 73: @@
 \end{alignat}
 </math>
 ;V[X+Y] = V[X] + V[Y] (ただし X,Y は独立)
-X,Y が独立であれば、和の分散は分散の和に等しくなります。しかし独立でない場合には V[X+Y] > V[X] + V[Y] です。この「ズレ」部分を共分散 (covariance) と呼びます。
+X,Y が独立であれば、和の分散は分散の和に等しくなります。しかし独立でない場合には V[X+Y] > V[X] + V[Y] です。この差分を共分散 (covariance) と呼びます（V[X+Y] = V[X] + V[Y] + 2Cov[X,Y]）。
-: V[X+Y] = V[X] + V[Y] + 2Cov[X,Y]
+:例.　2個のサイコロの和の分散と、サイコロの目の2倍の分散
 :V[サイコロ+サイコロ] = 35/12 + 35/12 = 35/6
-サイコロの目を2倍した値の分散に比較して、半分になっている点に注意しましょう。
+サイコロを1個振ってその目を二倍した場合、2から12までの偶数が等確率(1/6)で出てきます。しかし2個のサイコロの和の場合、2や12はそれぞれ1/36の確率でしか出ません。6は(1,5) (2,4) (3,3) (4,2) (5,1)という組み合わせがありうるので5/36の確率で出てきます。つまり、6や7という平均的な値が出やすくなっているので、目の二倍よりも分散が半分になります。
-サイコロを1個振ってその目を二倍した場合、2から12までの偶数が等確率(1/6)で出てきます。しかし2個のサイコロの和の場合、同じく2から12までの数が出てきますが、2や12はそれぞれ1/36の確率です。6は(1,5) (2,4) (3,3) (4,2) (5,1)という組み合わせがありうるので5/36の確率で出てきます。つまり、6や7という平均的な値が出やすくなっているので、目の二倍よりも分散が小さくなります。
 応用例として、''n'' 個のサイコロを振ったときの、目の平均値の分散を考えてみましょう。個々のサイコロの目の期待値は7/2です。''n'' 個の平均の期待値は7/2のまま変わりません。しかし分散は違います。''n'' 個のサイコロの目の和の分散を計算してみましょう。ここではサイコロを X と記述します。
@@ Line 93: / Line 93: @@
 : = (1/n)V[X] = 35/12n
-サイコロの数が多ければ多いほど、分散は0に近づくことがわかります。たくさん投げるほど平均値は 7/2 に近づきますから、納得のいく結果になりました。
+サイコロの数が多ければ多いほど、分散は0に近づきます。
 ===標準偏差===
 分散の平方根を標準偏差 (standard deviation) &sigma; と呼びます。また、標準偏差を 100 倍して平均で割った値を 変動係数 (CV: coefficient of variation) または 相対標準偏差 (RSD: relative standard deviation) と呼びます。
 ; CV = RSD = 100 &sigma; / E[X]
 ==共分散==

← Older revision		Revision as of 07:31, 24 April 2012
Line 119:		Line 119:
	:<math>Corr[X,Y] = \frac{Cov[X,Y]}{V[X]^{1/2}V[Y]^{1/2}}</math>		:<math>Corr[X,Y] = \frac{Cov[X,Y]}{V[X]^{1/2}V[Y]^{1/2}}</math>

−	~~そう書くと難しく思えますが、標準偏差で割るのは~~ X と Y ~~の大きさを分散が~~ 1 ~~になるように割り算しているだけです。平均は共分散を求める際に~~ 0 ~~になるように規格化してあります。~~	+	そう書くと難しく思えますが、標準偏差で割るのは分散が 1 になるように X と Y の大きさを割り算して揃えているだけです。平均は共分散を求める際に 0 になるように規格化してありました。集合 X と Y に対してまず平均が 0 分散が 1 になるように規格化し、それらを多次元ベクトルとみなして内積を求めたものが相関です。
		+
		+	内積の値は多次元ベクトルがなす角度の cos （コサイン）ですから、cosΘの範囲として ±1 の間をとります。ベクトルが全く同じ方向を向いている時が 1 (= cos 0)、直行する時が 0 (= cos 90)、逆向きの時が -1 (= cos 180) です。

@@ Line 105: / Line 105: @@
 ; Cov[X,Y] = E[ (X - E[X]) (Y - E[Y]) ] = E[XY] - E[X]E[Y]
-共分散 (covariance) は二組の対応する確率変数の間で、ばらつきが異なる度合いです。数式にすると、Xにおいて平均からズレた量とYにおいて平均からズレた量を掛け算して平均したものにあたります。つまり平均を 0 になるように規格化した X と Y の内関になっています。定義における等式の二つ目は、分散の定義における証明と同じ理由で成立します。
+共分散 (covariance) は二組の対応する確率変数の間で、ばらつきが異なる度合いです。数式にすると、Xにおいて平均からズレた量とYにおいて平均からズレた量を掛け算して平均したものにあたります。つまり平均を 0 になるように規格化した X と Y の内積になっています。定義における等式の二つ目は、分散の定義における証明と同じ理由で成立します。
 定義から
@@ Line 111: / Line 111: @@
 : Cov[X,X] = V[X]
 です。共分散は X と Y に関して対称に定義されていて、X と Y が独立なら 0 になります。
-X と Y のばらつきの傾向が似ていれば大きな正の値になり、似ていなければ大きな負の値になります。共分散という定義が概念的に捉えにくい場合、相関という概念を考えると良いでしょう。相関がある、ないという言葉は日常でも使われますが、共分散の値を規格化したものを相関と呼びます。
+X と Y のばらつきの傾向が似ていれば大きな正の値になり、似ていなければ大きな負の値になります。共分散という定義が概念的に捉えにくい場合、相関という概念を考えると良いでしょう。相関がある・ないという言葉は日常でも使われますが、共分散の値を 1 ～ -1 の間になるように規格化したものを相関と呼びます。
 ==相関==

← Older revision		Revision as of 07:25, 24 April 2012
Line 119:		Line 119:
	:<math>Corr[X,Y] = \frac{Cov[X,Y]}{V[X]^{1/2}V[Y]^{1/2}}</math>		:<math>Corr[X,Y] = \frac{Cov[X,Y]}{V[X]^{1/2}V[Y]^{1/2}}</math>

−	~~そう書くと難しく思えますが、~~	+	そう書くと難しく思えますが、標準偏差で割るのは X と Y の大きさを分散が 1 になるように割り算しているだけです。平均は共分散を求める際に 0 になるように規格化してあります。

@@ Line 115: / Line 115: @@
 ==相関==
 共分散を X の標準偏差と Y の標準偏差で割ったものが相関係数です。
 :<math>Corr[X,Y] = \frac{Cov[X,Y]}{V[X]^{1/2}V[Y]^{1/2}}</math>

@@ Line 1: / Line 1: @@
 {{Probability/Header}}
-==期待値・平均==
+==期待値と平均==
-;定義: E[確率変数] = Xの値とその値をとる確率の総和
+期待値とは、確率変数（例えばサイコロ）の取る値とその確率とをかけた総和です。 通常「平均」というと、全ての要素が等確率で生じているという前提があるので、数学では期待値という言葉を使います。期待値は英語で expectation なので E[確率変数] と書きます。
-−
-期待値とは、確率変数（例えばサイコロ）の取る値とその確率とをかけた総和です。 通常「平均」というと、全ての要素が等確率で生じているという前提があるので、数学では期待値という言葉を使います。期待値は英語でExpectationなので E[確率変数] と書きます。
 :例. フェアなサイコロの期待値
@@ Line 13: / Line 12: @@
 コインのときは、表が出たら1, 裏が出たら0として計算しています。
 ; E[''n'' X] = ''n'' E[X] (''n'' ... 実数)
 期待値は確率変数の値の和をとっているだけなので、変数の値が全てn倍されたら期待値もn倍されます。
@@ Line 36: / Line 36: @@
 ==分散==
-; 定義: V[X] = E[(X-E[X])<sup>2</sup>] = E[X<sup>2</sup>] -(E[X])<sup>2</sup>
+確率変数（例えばサイコロ）がとる値のばらつきの度合いを分散といいます。　分散は英語で variance なので V[確率変数] と書きます。
 二つ目の等式は以下のようにして成立します。
@@ Line 55: / Line 56: @@
 : V[サイコロ] = <math>((1-3.5)^2+(2-3.5)^2+(3-3.5)^2+(4-3.5)^2+(5-3.5)^2+(6-3.5)^2)/6</math> = 35/12 (≒ 2.916)
 ; V[''n'' X] = ''n''<sup>2</sup> V[X] (''n'' ... 実数)
@@ Line 76: / Line 78: @@
 : V[X+Y] = V[X] + V[Y] + 2Cov[X,Y]
-:例　2個のサイコロの目の和の分散
+:例.　2個のサイコロの目の和の分散
 :V[サイコロ+サイコロ] = 35/12 + 35/12 = 35/6
 サイコロを1個振ってその目を二倍した場合、2から12までの偶数が等確率(1/6)で出てきます。しかし2個のサイコロの和の場合、同じく2から12までの数が出てきますが、2や12はそれぞれ1/36の確率です。6は(1,5) (2,4) (3,3) (4,2) (5,1)という組み合わせがありうるので5/36の確率で出てきます。つまり、6や7という平均的な値が出やすくなっているので、目の二倍よりも分散が小さくなります。
-:例 複数のサイコロの目の平均の分散
+応用例として、''n'' 個のサイコロを振ったときの、目の平均値の分散を考えてみましょう。個々のサイコロの目の期待値は7/2です。''n'' 個の平均の期待値は7/2のまま変わりません。しかし分散は違います。''n'' 個のサイコロの目の和の分散を計算してみましょう。ここではサイコロを X と記述します。
-−
-ここで応用例として、''n'' 個のサイコロを振ったときの、目の平均値の分散を考えてみましょう。個々のサイコロの目の期待値は7/2です。''n'' 個の平均の期待値は7/2のまま変わりません。しかし分散は違います。''n'' 個のサイコロの目の和の分散を計算してみましょう。ここではサイコロを X と記述します。
 :V[(X<sub>1</sub>+X<sub>2</sub>+ ... X<sub>n</sub>)/n]
 : = (1/n<sup>2</sup>)V[X<sub>1</sub>+X<sub>2</sub>+ ... X<sub>n</sub>]
@@ Line 90: / Line 92: @@
 : = (1/n)V[X] = 35/12n
-サイコロの数が多ければ多いほど、分散は0に近づくことがわかります。たくさん投げるほど平均値は7/2に近づきますから、納得のいく結果になりました。
+サイコロの数が多ければ多いほど、分散は0に近づくことがわかります。たくさん投げるほど平均値は 7/2 に近づきますから、納得のいく結果になりました。
 ==共分散==
 共分散 (covariance) は二組の対応する確率変数の間で、ばらつきが異なる度合いです。数式にすると、Xにおいて平均からズレた量とYにおいて平均からズレた量を掛け算して平均したものにあたります。
-;定義: Cov[X,Y]=E[(X-E[X])(Y-E[Y])] = E[XY] - E[X]E[Y]
+;共分散の定義 Cov[X,Y] = E[ (X - E[X]) (Y - E[Y]) ] = E[XY] - E[X]E[Y]
 等式の二つ目は、分散の定義における証明と同じ理由で成立します。
@@ Line 101: / Line 107: @@
 : Cov[X,Y] = Cov[Y,X]
 : Cov[X,X] = V[X]
-です。共分散はXとYに関して対称に定義されていて、XとYが独立なら0になります。
+です。共分散は X と Y に関して対称に定義されていて、X と Y が独立なら 0 になります。
-XとYのばらつきの傾向が似ていれば大きな正の値になり、似ていなければ大きな負の値になります。
+X と Y のばらつきの傾向が似ていれば大きな正の値になり、似ていなければ大きな負の値になります。
 共分散という定義が概念的に捉えにくい場合、相関という概念を考えると良いでしょう。
 ==相関==
-共分散をXの標準偏差とYの標準偏差で割ったものが相関係数です。
+共分散を X の標準偏差と Y の標準偏差で割ったものが相関係数です。
 :<math>Corr[X,Y] = \frac{Cov[X,Y]}{V[X]^{1/2}V[Y]^{1/2}}</math>

← Older revision		Revision as of 05:35, 19 May 2011
Line 1:		Line 1:
		+	{{Probability/Header}}
		+
	==期待値・平均==		==期待値・平均==