Aritalab:Lecture/Basic/Distribution/Normal - Revision history

Adm: New page: 正規分布の確率密度関数は $\mbox{Pr}(X=k) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} \exp\Big( -\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2} \Big)$ で与えられる。確率母関数は
2010-10-25T01:37:03Z

New page: 正規分布の確率密度関数は <math> \mbox{Pr}(X=k) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} \exp\Big( -\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2} \Big) </math> で与えられる。確率母関数は <ma...

New page
正規分布の確率密度関数は

<math>
\mbox{Pr}(X=k) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} \exp\Big( -\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2} \Big)
</math>

で与えられる。確率母関数は

<math>
\begin{align}\textstyle
G(z) &= \int \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} \exp\Big( -\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2} \Big) z^x dx \\
&= \int \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} \exp\Big( -\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2} \Big) \exp(x\log z) dx
\end{align}
</math>

ここで<math>u = (x-\mu)/\sigma</math>とおくと<math>dx = \sigma du</math>

<math>
\begin{align}\textstyle
G(z) &= \int \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \exp\Big( (\log z)(\mu + \sigma u) \Big) \exp\Big( -\frac{u^2}{2}\Big) \sigma du\\
&= e^{\mu\log z} \int \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \exp\Big( (\log z)\sigma u - \frac{u^2}{2} \Big) du\\
&= e^{\mu\log z + \frac{\sigma^2 (\log z)^2}{2} } \int \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \exp\Big( - \frac{(u - \sigma \log z)^2}{2} \Big) du\\
&= z^{\mu} \exp{(\sigma^2 (\log z)^2 / 2 )}
\end{align}
</math>

これより

<math>
\begin{align}
G'(1) &= \mu \\
G''(1) &=
\end{align}
</math>